《Sobolev空間上Framelets理論及相關問題研究》是依託汕頭大學，由楊守志擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Sobolev空間上Framelets理論及相關問題研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：楊守志
- 依託單位：汕頭大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目將研究以下四個問題：(1) Sobolev空間上Framelets/ Multiframelets的構造。Framelets的構造是小波分析理論的基礎問題。本項目希望給出若干類Sobolev空間上小波框架的構造算法。(2) Sobolev空間上小波框架、雙向小波框架的性質。希望得到諸如對稱性、插值性、正則性和高逼近階等性質。特殊情形下，建立Sobolev空間上的採樣定理。(3) Sobolev空間上基於分形插值函式生成多小波框架的理論和算法。(4) 將Sobolev空間上的小波框架套用於分形理論、信號處理等學科領域，解決一些具體問題。.Sobolev空間理論與諸多數學學科有密切的聯繫，研究Sobolev空間上的小波框架有著重要意義。本項目以Sobolev空間為基礎，研究其上的小波框架理論及套用，探尋新的研究方法，期望得到一些重要的理論和套用成果。
結題摘要
1. 研究Sobolev空間多小波序列的Bessel性質。在H_s(Rd)空間, Bessel多小波序列的條件不同於Bessel 單小波序列,Bessel多小波序列與多小波函式和相應的多加細函式向量都有關係。構造了一類具有高階光滑和高求和規則的Bessel M-加細函式向量。基於所構造的Bessel加細函式向量，給出了對偶M-多小波框架的顯式構造。 2. 研究了R_s (s＞1)情形下的雙向加細函式和雙向小波函式構造問題。給出雙向加細函式屬於L_2(R_s)空間的充分條件。給出一類雙正交（正交）對稱多小波構造方法。得到了L_2(R_m)空間的對偶雙向小波框架。討論了整數伸縮因子的高階平衡多小波的構造問題。 3. 研究 L^2(R^n) 上一般伸縮矩陣的半正交多小波框架理論, 並討論相應的性質。證明了半正交 Parseval 多小波框架與 GMRA Parseval 多小波框架的等價性。 4. 討論了擬Hermite插值向量加細函式，並將其套用到信號的恢復處理中。建立了相應的採樣定理。 5. 建立了一個新的與廣義插值加細函式向量有關的採樣定理，拓展了已有採樣定理的適用範圍。 6. 基於偽樣條理論，給出逼近階為奇整數時, 3帶緊支撐正交對稱尺度函式一個簡單構造算法，並給出了相應小波的顯示構造方法。對於逼近階2，得到了一類3帶緊支撐正交對稱復尺度函式的構造。 7. 研究一類方程的多項式解。基於這種解，給出4-帶加細方程的一類顯式構造。另外, 給出正交對稱的shearlet緊框架的一個簡單構造算法。 8. 討論不規則多Gabor框架的性質，並對其進行刻畫。對於非線性Gabor系統，給出了非線性Gabor系統中的Balian-Low定理一個新證明。 9. 提出Banach空間上的SIP-I 和SIP-II X_d框架概念。建立了Banach空間上的原子分解公式，並得到了元素恢復公式，討論了Banach空間上的擾動問題。 10. 基於分形插值曲面在R2的矩形區域上擬合一個給定的連續曲面，並研究擬合誤差問題, 得到了擬合誤差的上界估計。 11. 基於一類廣泛使用的疊代函式系（IFS），構造了一類具有變數參數的IFS，證明了這類IFS能生成具有更多靈活性的分形插值函式。 12. 構造了一種基於混沌的具有有效置換--擴散機制的圖像加密算法。
