《Riemann面上奇異與非奇異共形度量》是依託中國科學院大學，由吳英毅擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：Riemann面上奇異與非奇異共形度量
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：吳英毅
- 依託單位：中國科學院大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Riemann面上的共形度量是微分幾何中的重要研究對象。該項目主要研究和Riemann面上奇異與非奇異共形度量相關的一些問題。這些問題包括：奇異extremal Kaehler度量，帶奇點的常Gauss曲率度量和共形極小曲面問題。對於奇異extremal Kaehler度量，我們將用幾何與複分析相結合的辦法研究非常Gauss曲率的HCMU度量的存在性，用PDE的辦法研究extremal Hermitian度量的性質。對於帶奇點的常Gauss曲率度量，我們將研究球面上帶錐奇點的常Gauss曲率度量的性質和存在性，還將研究既帶錐奇點又帶cusp奇點的常Gauss曲率度量的性質。對於共形極小曲面，我們將研究復Grassmann流形以及HP^n中極小曲面的幾何。
結題摘要
我們的主要研究對象是緊Riemann面上帶奇點的極值Kaehler度量和極小曲面。 極值Kaehler度量是由著名幾何學家Calabi定義的，目的是找到“好”的度量。極值Kaehler度量是近二三十年復幾何重要的研究對象。緊Riemann面上光滑的極值Kaehler度量就是常曲率度量。我們研究的是緊Riemann面上帶奇點的極值Kaehler度量，這種度量又分為非常曲率和常曲率兩種。其中非常曲率度量我們通常簡稱為HCMU度量，它是近年來人們發現的一種很有趣的度量，常曲率度量則一直是人們關注的對象，其中球面上帶錐奇點常曲率為1的度量的存在性是一個公開的問題。我們研究了HCMU度量的存在性和性質，得到如下兩方面結果：第一，球面上HCMU度量的一個存在性定理，一般來說，這類度量的存在性很難得到，它與奇點的位置和角度都有關，在球面上，我們把度量的存在性問題轉化為一個代數方程的求解問題，並得到了這個代數方程在何時一定有解；第二，證明任何一個HCMU度量都是一個球面上最簡單的HCMU度量通過Riemann面上一個多值全純函式的拉回，這說明任何HCMU度量實際上都是由最簡單的HCMU度量拼成的。此外，我們還得到了球面上只有3個錐奇點且奇點角度都是4\pi的HCMU度量的完全分類。 極小曲面一直都是幾何學的重要研究對象。我們在以往工作基礎上開展復Grassmann流形G(k,n)中的極小2維球面的幾何性質及分類的系列研究。主要結果有：給出了G(2,5)中的常曲率全純2維球面和非正負全純常曲率極小2維球面以及Q_3、HP^2中的常曲率極小2維球面的完全分類；給出了HP^n中滿足一些條件下的常曲率極小2維球面的分類；完全確定了Q_n和HP^n中的所有平行極小2維球面。我們還研究了對稱空間中的平行極小2維球面的一些性質。
