LD設計

LD設計是一類輔助設計，在解決施泰納三元系大集問題中由中國的陸家羲引入，這類設計對施泰納三元系大集問題有重要作用，對別的組合設計的存在性問題也有用，LD(n)的存在性已基本解決，除十幾個n值外LD(n)都是存在的。

基本介紹

• 中文名：LD設計
• 外文名：LD-design
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：組合學（組合設計理論）
• 相關問題：施泰納三元系大集問題
• 提出者：陸家羲

基本介紹

設X為n元集，L¹與L²分別為X上的正交表OA(n，4)，對每個x∈X，L_x是X\{x}上的正交表OA(n-1，3)（見下文“正交陣列”）。若存在c∈X，使對任一x∈X有(x，x，x，c)∈L¹∩L²，且對任一(u，v，w)∈X³，或存在x∈X使(u，v，w)∈L_x，或存在t∈X及j∈{1，2}使(u，v，w，t)∈L^j，則稱{L¹，L²}∪{L_x|x∈X}為LD設計，記為LD(n)。這類設計對施泰納三元系大集問題有重要作用，對別的組合設計的存在性問題也有用，LD(n)的存在性已基本解決，除十幾個n值外LD(n)都是存在的。

正交陣列

正交陣列即正交表，正交陣列是一類組合設計，設A是v元集X上的v×k矩陣，若對任意d(2≤d≤k)列所構成的子矩陣，X上的每一個d元排列作為子矩陣的行各出現λ次，則稱A為大小N，約束數k，水平數v，強度d和指數λ的正交陣列，在試驗設計中稱正交表，記為OA(N，k，v，d)，由定義有N=λv^d，強度2的正交陣列記為OA(v，k;λ)，當λ=1時簡記為OA(v，k).OA(v，k;λ)的存在性等價於橫截設計TD_λ[k;v]的存在性，OA(v，k)的存在性則等價於k-2個v階相互正交拉丁方的存在性。

相關介紹

關於施泰納三元系大集的研究

陸家羲是獲得國家自然科學獎一等獎中唯一的一位普通中學教師。他解決的STEINER三元系大集問題屬於組合數學的設計理論領域，是19世紀50年代由Cayley、Sylvester和Kirkman等人提出來的，在組合設計的理論和套用上有重要意義，但是由於問題本身的艱難性，直至本世紀70年代進展甚微。自1972年始，國外一些組合設計學家引進逆推方法，對它有了部分推進，但直到1980年止，結果依然是零碎的，距完全解決相去甚遠。陸家羲經過20多年的刻苦鑽研，終於在1981-1983年基本上解決了這一難題，對所余的6個未定數值也給出了解決框架。國際組合數學刊物於1981年9月和1983年4月分兩期登載了他為解決這個問題所寫的6篇文章。這一成果獲1987年第三次國家自然科學獎一等獎。

1981-1983年，陸家羲以16個引理29個定理，嚴謹地布下整體解決問題的格局，引人各一個遞歸構造，獨創了一系列的輔助設計，運用前人已有的各種結論進行了複雜的計算和歸納，最終證明大集定理：

如果v≡1,3(mod 6)，v>7，和v{141，283，501，789，1 501，2 305}，那么D(v)=v-2，人們還編成大集定理的算法程式，在計算機上驗證了大集定理的結論是完全正確的。

陸家羲的這一成果已載入組合數學史冊。