KAM定理(Kolmogorov-Arnold-Moser theo- rem)研究近可積系統理論的最重要結果之一
內容簡介,可積系統,
內容簡介
KAM定理(Kolmogorov-Arnald-Moser theo- rem)研究近可積系統理論的最重要結果之一該定理以三位對此做出突出貢獻的數學家的名字命名，他們是蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫(t}o.}tMOropor}, A. H. )、阿諾爾德(ApHO.7h,r}, B. }}}.)和美國數學家莫澤(Moser, J. K.)，從而簡稱KAM定理. 設保守系統為自由度n，它具有二個廣義動量 pl}p2,...}p,，和n個廣義坐標q> > qz } ".. } qn，以及哈密頓函式
則系統的運動方程(哈密頓方程)具有正則形式
式中，H。為可積哈密頓函式，H、為不可積哈密頓函式，:為一小參數.
KAM定理描述了近可積系統的定性行為，具體表述為:若。充分小，且未擾動系統H。滿足條件
可積系統
則近可積系統(3)具有勒貝格測度}(e)的運動軌道處於光滑的n維環面之上，而這些n維環面與可積系統H。的運動軌道所處的光滑環面(其勒貝格測度與} (1))相差很小.進一步，當。-> 0時，}0時，這些軌道的測度為0). 需要指出的是，這些複雜運動的區域不一定是完全孤立的，即兩個鄰近環面間的軌道有可能相互遷移.事實上，要保證這些複雜運動的孤立性，必須要求二維KAM環面成為2n-1維等勢面的邊界，即滿足條件 n)2n一2，(4) 不等式(4)只有在n毛2時成立.例如，二維環面可以把2X2-1=3維的等能面分割為內、外兩部分.不可積系統中普遍存在著複雜運動，容易構想當系統 (3)中。逐漸增大時，KAM定理所保證存在的n維環面將越來越少，隨著這些環面的消失，越來越多的複雜運動軌道隨之產生，最終形成全局性的複雜運動景象.
