K-L變換

K-L變換（ Karhunen-Loeve Transform）是建立在統計特性基礎上的一種變換，有的文獻也稱為霍特林（Hotelling）變換，因他在1933年最先給出將離散信號變換成一串不相關係數的方法。K-L變換的突出優點是去相關性好，是均方誤差（MSE，Mean Square Error）意義下的最佳變換，它在數據壓縮技術中占有重要地位。

基本介紹

• 中文名：K-L變換
• 外文名：Karhunen-Loeve Transform
• 別名：霍特林（Hotelling）變換
• 時間：1993年

原理

K-LKarhunen-Loeve

設X=(X1，X2，…，X_N)為N維隨機矢量，m_X=E(X)和C_X=E{(X－m_X)(X－m_X)}分別為其平均值向量和協方差矩陣，e_i和λ_i分別為C_X的特徵向量和對應的特徵值，其中i=1，…，N，並設特徵值已按降序排列，即λ₁≥λ₂≥…≥λ_N，則K-L變換式為：

Y=A(X-m_x) (1.1)

其中變換矩陣A的行為C_X的特徵值，即：

式中：e_ij表示第i個特徵向量的第j個分量。

K-L變換的性質

①Y的均值向量為零向量0。即：

m_Y=E{Y} =E{A(X-m_X)}=0 (1.2)

②K-L變換使矢量信號各分量不相關，即變換域信號的協方差為對角矩陣。

③K-L反變換式為：

X=AY+m_X=AY+m_x (1.3)

④K-L變換是在均方誤差準則下失真最小的一種變換，故又稱作最佳變換。

這條性質與壓縮編碼有關。其意義是，如果在數據傳輸中只傳送變換後的前n個係數組成的矢量，則根據這n個係數得到的恢復值可以得到最小的均方誤差，其值為：

上式表明，在K-L變換下，最小均方誤差值等於變換域中矢量信號的最小的N－n個方差的和。特別有意義的是，如果這些分量的均值為零，則在恢復時只要把這些分量置零，便可以使均方誤差最小。

圖像信號的K-L變換

K-L變換是一維變換，在對圖像信號進行變換時，矢量可以是一幅圖像或一幅圖像中的子圖像。矢量各分量之間的相關性反映了像素之間的相關性。為了得到矢量X，可以將圖像或子圖像的像素按行行相接或列列相接的次序排列，如圖1所示。

(a)行行相接

(b)列列相接

圖1由二維圖像信號建立矢量信號

在建立了矢量信號之後，就要計算協方差矩陣CX，然後計算的特徵矢量才能得到K-L變換矩陣A。

由此可見，儘管K-L變換具有性質(2)和(4)的最佳去相關和誤差性能，但是由於求解特徵值和特徵根並非易事，特別是在維數高時甚至可能求不出來，而且變換矩陣與圖像的內容有關，因而難以滿足實時處理的要求。但是，K-L變換在變換編碼中具有理論指導意義，人們通過比較，尋找出一些性能與K-L變換接近，但實現卻容易得多的“準最佳”編碼方法。

K-L變換的功能

K-L變換雖然具有MSE意義下的最佳性能，但需要先知道信源的協方差矩陣並求出特徵值。求特徵值與特徵向量並不是一件容易的事，維數較高時甚至求不出來。即使能藉助計算機求解，也很難滿足實時處理的要求，而且從編碼套用看還需要將這些信息傳輸給接收端。這些因素造成了K-L變換在工程實踐中不能廣泛使用。人們一方面繼續尋求解特徵值與特徵向量的快速算法，另一方面則尋找一些雖不是“最佳”、但也有較好的去相關與能量集中的性能且容易實現的一些變換方法。而K-L變換就常常作為對這些變換性能的評價標準。