遷移率是表征帶電粒子在電場作用下加速運動快慢的一個物理量，等於單位電場作用下、沿著電場方向的平均漂移速度，單位是[cm/V-s]；由於粒子的平均漂移速度是定向運動，所以它總是小於混亂的熱運動速度。對於半導體中的載流子，室溫下的熱運動速度大約為107cm/s。
基本介紹
- 中文名：Einstein關係
- 外文名：Einstein Relation
- 學科：電子學
- 單位：是[cm/V-s]
基本概念,一般的推導,簡單的推導,溫度關係,
基本概念
在電子學中的Einstein關係，是聯繫著帶電粒子的遷移率μ與擴散係數D之間的一個重要關係。
擴散係數D是表征帶電粒子在濃度梯度驅動下、從高濃度處往低濃度處運動快慢的一個物理量，等於單位濃度梯度作用下的粒子流密度，單位為[cm2/s]。
因為載流子的遷移率和擴散係數都是表征載流子運動快慢的物理量，它們都與散射有關，所以對於同一種粒子而言，其遷移率和擴散係數之間必然存在有正比的關係——Einstein關係。
當然，對於半導體中的載流子，它們的漂移和擴散之間，也必將滿足Einstein關係。
一般的推導
考慮半導體中一維運動的導帶電子。
當存在電場E和濃度梯度dn/dx時，產生的電流密度為：Jn=qμn n E + qDn (dn/dx)。
在熱平衡時，Jn=0，則有：μn = -( qDn/nE) (dn/dx)。
而電場可用勢能梯度表示為：E = (1/q)(dEc/dx)。
又，熱平衡時的電子濃度n與Fermi能級相對於導帶底的位置有關，即n是能量差(Ef-Ec)的函式。從而可以得到：μn = qDn [d(ln n)/dEf]。
這是廣義的Einstein關係，可用於簡併半導體。
對於非簡併半導體，因為熱平衡時的電子濃度為：n = Nc exp[-(Ec-Ef)/kT]。
則可得到非簡併情況下的Einstein關係，為：μn = [q/(kT)] Dn， Dn = (kT/ q) μn。
在室溫下，擴散係數（cm2/s）將約為遷移率的0.026倍。當然，這種Einstein關係也表明擴散係數與溫度的關係與遷移率的相同。
簡單的推導
對於半導體中有效質量為m*的經典自由載流子，在溫度T時的熱運動能量為：(1/2)m*vth2=(1/2)kT，
則 vth2 = kT/m*。 若載流子的平均自由程和平均自由時間分別為l和t，於是擴散係數可給出為：
D = vth l = vth2t = kTt/m*。
代入 m = qt/m*，就得到Einstein關係：D = (kT/q)m
當然，這種Einstein關係僅適用於非簡併半導體。
溫度關係
注意：載流子的擴散係數不同於雜質原子的擴散係數。在半導體工藝中雜質原子的擴散因為關係著晶格熱缺陷的形成，故與溫度的係數很大——指數函式關係。但是載流子的擴散完全是在濃度梯度驅動下、在熱運動基礎之上的一種定向運動（從高濃度處往低濃度處運動），當然與溫度有關，不過與溫度的關係較小；根據Einstein關係可見，載流子的擴散係數的溫度關係在很大程度上決定於載流子遷移率的溫度關係。在室溫下、當聲學波散射起主要作用時，μ隨著溫度的升高而作3/2式地下降，這時D則與溫度有平方根的反比關係（即D∝1/√T）。
載流子的擴散係數與摻雜濃度的關係也可按照與溫度的關係來進行分析。即基本上也是決定於載流子遷移率的摻雜濃度關係。
