Binet-Cauchy定理，即比內-柯西定理描述了矩陣的乘積與行列式的關係·
基本介紹
- 中文名：Binet-Cauchy定理
- 概述：Binet-Cauchy定理
- 定理的內容：設A,B分別為矩陣,
- 定理的證明：我們令A=(aij),B=(bij),AB=
定理的內容,定理的證明,
定理的內容
設A,B分別為
矩陣,則有det(AB)=
(1) 0，當n>s
(2)
，當n=s
(3)
，當n
s
其中
表示A的第
列所成的子式，而其中
表示B的第行所成的子式。
定理的證明
我們令A=(aij),B=(bij),AB=C=(cij).可以構造n+s階方陣M，分塊為
其中I為單位方陣. 下面用兩種方法計算M的行列式.
把M的第n+1,n+2......n+s行的第
倍加到第k行去.(k=1,2......n)
如此，M的第k行就化為了：
方陣M化為了方陣N
顯然
。再利用Laplace展開定理,對N的前n行進行展開,就有
其中
對M的前n行直接做Laplace展開定理:
(1)當n>s時,M的前n行子式都為0,detM=0,則detC=det(AB)=0.
(2)當n=s時,只有A這個子式非0,det(AB)=det(A)*det(B).
(3)當n<s時,計算所有
個非零子式（
）與其代數餘子式為：
這裡，
，而
為
中刪去第列所得的矩陣，即-J的第行全為0。
用Laplace展開定理,按第k1,k2...kn行展開,注意到這n行在-I'的部分是0,所以
只有一個可能非零的子式,那就是B的第k1,......kn行所構成的子式。也就是說,
這裡
最後,我們總結上述結論並結合(一)的結論,就有
而PQR=1,定理得證
