0.999...是無限循環小數，其值等於1是目前數學界普遍認可的。因1/3=0.333...，而依據等式的基本性質，1/3×3=0.333...×3，1/3×3=1，0.333...×3=0.999...，所以0.999...=1。
基本介紹
最簡單的證明,另一個證明,逐漸靠譜證明,未停止過討論,教學問題,
最簡單的證明
- 最簡單的證明是這樣的：1/3 = 0.333...，兩邊同時乘以 3，1 = 0.999... 。1998 年，弗雷德·里奇曼（Fred Richman）在《數學雜誌》（Mathematics Magazine）上的文章《0.999... 等於 1 嗎？》中說到：“這個證明之所以如此具有說服力，要得益於人們想當然地認為第一步是對的，因為第一步的等式從小就是這么教的。”大衛·托（David Tall）教授也從調查中發現，不少學生看了這個證明之後都會轉而開始懷疑第一個等式的正確性。仔細想想你會發現，“1/3 等於 0.333…” 與 “1 等於 0.999…” 其實別無二致，它們同樣令人難以接受。正如很多人會認為 “0.999… 只能越來越接近 1 而並不能精確地等於 1” 一樣，“0.333… 無限接近但並不等於 1/3” 的爭議依舊存在。問題並沒有解決。
另一個證明
- 大衛·福斯特·華萊士（David Foster Wallace）在他的 《Everything and More》一書中介紹了另外一個著名的證明：
- 令 x = 0.999...
- 所以 10x = 9.999...
- 兩式相減得 9x = 9
- 所以 x = 1
- 威廉·拜爾斯（William Byers）在《How Mathematicians Think》中評價這個證明：“0.999... 既可以代表把無限個分數加起來的過程，也可以代表這個過程的結果。許多學生僅僅把 0.999... 看作一個過程，但是 1 是一個數，過程怎么會等於一個數呢？這就是數學中的二義性⋯⋯他們並沒有發現其實這個無限的過程可以理解成一個數。看了上面這個證明而相信等式成立的學生，可能還沒有真正懂得無限小數的含義，更不用說理解這個等式的意義了。”
逐漸靠譜證明
等比級數具有這么一個性質：如果 |r| < 1
接下來，令a=9，r=1/10，則可以得到：0.999...=9/10+9/100+9/1000...=9/10 / 1-1/10=1
這個證明最早出現在 1770 年大數學家歐拉（Leonhard Euler）的《代數的要素》（Elements of Algebra）中，不過當時他證明的是 10=9.999... 。
之後的數學課本中漸漸出現了更為形式化的極限證明：
1846 年，美國教科書《大學算術》（The University Arithmetic）里這么說：在 0.999... 里，每增加一個 9，它都離 1 更近。1895 年的另一本教科書《學校算術》（Arithmetic for School）則說：如果有非常多的 9，那么它和 1 就相差無幾了。意外的是，這些“形象的說法”卻適得其反，學生們常常以為 0.999... 本身其實是比 1 小的。
弗雷德·里奇曼的文章《0.999... 等於 1 嗎？》里則用戴德金分割給出了一個證明：所有比 0.999... 小的有理數都比 1 小，而可以證明所有小於 1 的有理數總會在小數點後某處異於 0.999... （因而小於 0.999... ），這說明 0.999... 和 1 的戴德金分割是一模一樣的集合，從而說明 0.999... = 1 。
格里菲思（H. B. Griffiths）和希爾頓（P. J. Hilton）在 1970 年出版的《A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation》中，用柯西序列給出了另一個證明。
未停止過討論
儘管證明越來越完備，學生們的疑惑卻從來沒有因此減少。在品托（Pinto）和大衛·托教授的一份調查報告中寫到，當學生們用高等方法證明了這個等式之後，會大吃一驚地說，這不對呀，0.999… 顯然應該比 1 小呀。
在網際網路上，這個等式的魅力也依然不減。辯論 0.999… 是否等於 1 被討論組 sci.math 評為“最受歡迎的運動”，各類問答網站中也總是會有網友激烈的討論。 諾貝爾獎獲者費曼（Richard Feynman）也用這個等式開過一句玩笑。有一次他說到：“如果讓我背圓周率，那我背到小數點後 762 位，然後就說 99999 等等等，就不背了。”這句話背後有一個很奇怪的笑點：從 π 的小數點後 762 位開始，出現了連續的 6 個 9，偏偏在這裡來一個“等等等”，就會給人感覺好像後面全是 9，這相當於把 π 變成了一個無限循環小數。此後，π 的小數點後 762 位就被戲稱為了費曼點（Feynman Point）。
教學問題
0.999...=1，這歷來是小學生不易接受的一個問題。每當講到這個問題，老師總要一再強調0.999...就是等於1。然而事情過後，大部份小學生的思維又恢復原狀：覺得0.999...=1是有問題的。小學生之所以難於接受0.999...=1這樣一個正確的事實，是有其原因的。分析起來，原因主要有如下三個方面：
第一，先入為主的思想作梗。六年制國小數學課本第八冊中，比較小數大小的方法是對有限小數而言的。由於當時沒有出現無限小數，小學生不明確這個比較的適用範圍，後來就隨意地運用到無限小數的比較上來，所以誤認為0.999...=0.9<1。
第二，小學生缺乏辯證思想。從有限到無限，會發生量變到質變這樣的事情，對小學生們說，是很難理解的。因為他們根本就缺乏小學生哪能接受這樣的極限思想！在小學生的眼光里，只能是：“在整數部分是零的情況下，小數點後面不管有多少個9，總還是比1小，而0.999...=1那是書上寫的，老師講的，要我們記的。”所以，0.999...=1小學生至多只能知其然，無法知其所以然。
第三，教材處理，教法運用上有問題，不能從教材和小學生這兩個實際出發，來突破難點。以上三點原因，第一點可以向學生作補充說明，第二點無法向學生講授；第三點則是可以做文章的。這正是寫本文的動意。怎樣從教材和小學生的實際出發來抓住關鍵，突破這個難點呢？我認為從逆向思維原則來考慮問題是可行的。既然按0.999...=1這個方向來處理學生很難接受，那么我們就反過來考慮，闡明1=0.999...就行了。
