龍格庫塔法

經典四階法

在各種龍格－庫塔法當中有一個方法十分常用，以至於經常被稱為“RK4”或者就是“龍格－庫塔法”。該方法主要是在已知方程導數和初值信息，利用計算機仿真時套用，省去求解微分方程的複雜過程。

令初值問題表述如下。

則，對於該問題的RK4由如下方程給出：

其中

這樣，下一個值（y_n₊₁）由現在的值（y_n）加上時間間隔（h）和一個估算的斜率的乘積所決定。該斜率是以下斜率的加權平均：

當四個斜率取平均時，中點的斜率有更大的權值：

RK4法是四階方法，也就是說每步的誤差是h階，而總積累誤差為h階。

注意上述公式對於標量或者向量函式（y可以是向量）都適用。

顯式龍格－庫塔法是上述RK4法的一個推廣。它由下式給出

其中

（注意：上述方程在不同著述中有不同但卻等價的定義）。

要給定一個特定的方法，必須提供整數s（級數），以及係數a_ij（對於1 ≤j<i≤s）,b_i（對於i= 1, 2, ...,s）和c_i（對於i= 2, 3, ...,s）。

龍格庫塔法是自洽的，如果

如果要求方法的精度為p階，即截斷誤差為O(h)的，則還有相應的條件。這些可以從截斷誤差本身的定義中導出。例如，一個2級2階方法要求b₁+b₂= 1,b₂c₂= 1/2, 以及b₂a₂₁= 1/2。

RK4法處於這個框架之內。其表為：

然而，最簡單的龍格-庫塔法是（更早發現的）歐拉方法，其公式為

。這是唯一自洽的一級顯式龍格庫塔方法。相應的表為：

0
	1

以上提及的顯式龍格庫塔法一般來講不適用於求解剛性方程。這是因為顯式龍格庫塔方法的穩定區域被局限在一個特定的區域裡。顯式龍格庫塔方法的這種缺陷使得人們開始研究隱式龍格庫塔方法，一般而言，隱式龍格庫塔方法具有以下形式：

其中