黎曼環面

黎曼環面是一類緊緻黎曼曲面，同時又是最簡單的一類復環面（即復環面中n取1）。類似於一般環面可由實平面模上一個等價關係得到，黎曼環面是由複平面模上等價關係得到。

基本介紹

• 中文名：黎曼環面
• 所屬學科：數學

定義

設為實線性無關的兩個複數(即)。記為在中生成的離散子群：

子群自然地作用到上，從而有商空間,這裡等價關係定義為

以表示的等價類，記為商投影。上的拓撲定義為商拓撲。可以證明

在此拓撲下，是黎曼曲面，把上述構造的黎曼曲面統稱黎曼環面。

性質

(1).商投影為全純復迭映射。

(2).任何兩個黎曼環面都是同胚（微分同胚）的.

(3).設為兩個黎曼環面之間的連續映射，,則存在唯一的連續映射 使得且滿足下面的交換圖表：

其中，左右兩個映射為商投影，若為全純映射，則也是全純映射，且稱為的提升。

(4).任給黎曼環面上一點，存在全純自同構

使得

(5).黎曼環面與及全純同構。

套用

黎曼環面的分類

任何黎曼環面均同構於另一個形如

的黎曼環面；兩個這樣的黎曼環面和全純同構若且唯若存在整數滿足如下條件：