高階線性雙曲型方程

高階線性雙曲型方程(higher order linear hy- perbolic equation)一類重要的高階方程.高階線性雙曲型方程有兩種定義.考慮n+1個變數((t,x> 的N階常係數線性方程

如果方程L(,l,is)一0的根只一隻l特)，只:(豹，…，標}S) 的實部是實數組寧=}}l,}z,"..}}n)的有界函式，則稱1u=0是哥爾丁意義下的雙曲型方程.當L是N 次齊次的情形，上述條件成為:},C}), }zC}), "..} }N“)對於任意非零實數組特}}}z}...}}})都是純虛數.雙曲型方程的主部(最高階項)也是雙曲型的.當 as0a是t,x的函式時，如果變係數方程Zu=0的特徵方程

對各點(<t，二)和任意的}}o具有n個相異的純虛 > }z..., }N(t，二.寧)，則稱方程 1u=。為彼得羅夫斯基意義下的雙曲型方程.當這些根一致分離時，即

則稱為正則雙曲型方程. 哥爾丁意義下的雙曲型條件考慮了低階項的影響，因而不能照搬到變係數的情形.然而在常係數的情形，一個N階齊次方程，不管怎樣添加階數不超過N-1的低階項，仍舊保持其整體在哥爾丁意義下是雙曲型的充分必要條件是:它的特徵方程對任意的非零實數組占一(占1，占:，…，占ri)具有N個純虛根幾.這種方程稱為狹義雙曲型的.這就說明，在常係數情形，彼得羅夫斯基意義下的雙曲型方程必定是哥爾丁意義下的雙曲型方程，而哥爾丁意義下的雙曲型方程不一定是彼得羅夫斯基意義下的雙曲型方程.