高斯-克呂格投影

高斯-克呂格投影是由德國數學家、物理學家、天文學家高斯於19 世紀20 年代擬定，後經德國大地測量學家克呂格於1912 年對投影公式加以補充，故稱為高斯-克呂格投影，又名"等角橫切橢圓柱投影”，是地球橢球面和平面間正形投影的一種。

基本介紹

• 中文名：高斯-克呂格投影
• 外文名：Gauss - Kruger projection
• 提出者：高斯
• 提出時間：19 世紀20 年代
• 套用學科：地理信息
• 適用領域範圍：地圖測繪
• 完善者：克呂格

幾何概念

高斯克呂格投影這一投影的幾何概念是，假想有一個橢圓柱與地球橢球體上某一經線相切，其橢圓柱的中心軸與赤道平面重合，將地球橢球體面有條件地投影到橢球圓柱面上高斯克呂格投影條件：a) 中央經線和赤道投影為互相垂直的直線，且為投影的對稱軸； b) 具有等角投影的性質； c) 中央經線投影后保持長度不變；

基本概念

如圖所示，假想有一個橢圓柱面橫套在地球橢球體外面，並與某一條子午線（此子午線稱為中央子午線或軸子午線）相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然後用一定投影方法，將中央子午線兩側各一定經差範圍內的地區投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面，如圖2所示，此投影為高斯投影。高斯投影是正形投影的一種。

（2）分帶投影n

l高斯投影6度帶：自0子午線起每隔經差6自西向東分帶，依次編號1,2,3,…。我國6度帶中央子午線的經度，由69°起每隔6°而至135°，總計12帶（12～23帶），帶號用N表示，中央子午線的經度用L₀表示，它們的關係是：L₀=6N-3。

l高斯投影3度帶：它的中央子午線一部分同6度帶中央子午線重合，一部分同6度帶的分界子午線重合，如用n表示3度帶的帶號，表示帶中央子午線經度，它們的關係圖所示。我國帶總計22帶（24～45帶）。

（3）高斯平面直角坐標系

在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，並且以中央子午線和赤道的交點o作為坐標原點，以中央子午線的投影為縱坐標x軸，以赤道的投影為橫坐標y軸。

在我國x坐標都是正的，y坐標的最大值（在赤道上，6°帶）約為330km。為了避免出現負的橫坐標，可在橫坐標上加上500 000m。此外還應在坐標前面再冠以帶號。這種坐標稱為國家統一坐標。

例如，有一點y=19 623 456.789m，該點位在19帶內，位於中央子午線以東，其相對於中央子午線而言的橫坐標則是：首先去掉帶號，再減去500 000m,最後得=123 456.789m。

（4）高斯平面投影的特點

①中央子午線無變形；

②無角度變形，圖形保持相似；

③離中央子午線越遠，變形越大。

橢球面三角系

將橢球面三角系歸算到高斯投影面的主要內容是：

（1）將起始點p的大地坐標（L,B)歸算為高斯平面直角坐標(X,Y)；為了檢核還應進行反算，亦即根據X,Y反算L,B。

（2）通過計算該點的子午線收斂角γ及方向δ改正，將橢球面上起算邊大地方位角A歸算到高斯平面上相應邊PK的坐標方位角α。

（3）通過計算各方向的曲率改正和方向改正，將橢球面上各三角形內角歸算到高斯平面上的由相應直線組成的三角形內角。

（4）通過計算距離改正Δs，將橢球面上起算邊PK的長度S歸算到高斯平面上的直線長度s。

（5）當控制網跨越兩個相鄰投影帶，需要進行平面坐標的鄰帶換算。

高斯坐標

在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，並且以中央子午線和赤道的交點0作為坐標原點，以中央子午線的投影為縱坐標軸（X），以赤道的投影為橫坐標軸（Y），這樣便形成了高斯平面直角坐標系。

具體介紹

高斯-克呂格投影是一種等角橫軸切橢圓柱投影。它是假設一個橢圓柱面與地球橢球體面橫切於某一條經線上，按照等角條件將中央經線東、西各3°或1.5°經線範圍內的經緯線投影到橢圓柱面上，然後將橢圓柱面展開成平面而成的。該投影是19世紀20年代由德國數學家、天文學家、物理學家高斯最先設計，後經德國大地測量學家克呂格補充完善，故名高斯-克呂格投影，簡稱高斯投影。

這種投影，將中央經線投影為直線，其長度沒有變形，與球面實際長度相等，其餘經線為向極點收斂的弧線，距中央經線愈遠，變形愈大。 赤道線投影后是直線，但有長度變形。除赤道外的其餘緯線，投影后為凸向赤道的曲線，並以赤道為對稱軸。經線和緯線投影后仍然保持正交。所有長度變形的線段，其長度變形比均大於1. 隨遠離中央經線，面積變形也愈大。若採用分帶投影的方法，可使投影邊緣的變形不致過大。我國各種大、中比例尺地形圖採用了不同的高斯-克呂格投影帶。其中大於1:1萬的地形圖採用3°帶；1:2.5萬至1:50萬的地形圖採用6°帶。

投影與變形

地圖投影：就是將橢球面各元素（包括坐標、方向和長度）按一定的數學法則投影到平面上。研究這個問題的專門學科叫地圖投影學。可用下面兩個方程式（坐標投影公式）表示：x=F1(L,B)；y= F2(L,B)；式中L,B是橢球面上某點的大地坐標，而X，Y是該點投影后的平面直角坐標。

投影變形：橢球面是一個凸起的、不可展平的曲面。將這個曲面上的元素（距離、角度、圖形）投影到平面上，就會和原來的距離、角度、圖形呈現差異，這一差異稱為投影變形。

投影變形的形式：角度變形、長度變形和面積變形。

地圖投影的方式：

（1）等角投影——投影前後的角度相等，但長度和面積有變形；

（2）等距投影——投影前後的長度相等，但角度和面積有變形；

（3）等積投影——投影前後的面積相等，但角度和長度有變形。

高斯克呂格投影的變形分析：

①中央經線上無變形，滿足投影后長度比不變的條件；

②除中央經線上長度比為1以外，其它任何點長度比均大於1；

③在同一條緯線上，離中央經線越遠則變形越大，最大值位於投影帶邊緣。

④在同一條經線上，緯度越低變形越大，最大值位於赤道上。

⑤等角投影無角度變形，面積比為長度比的平方。

⑥長度比的等變形線平行於中央軸子午線。

地圖投影要求

（1）應當採用等角投影（又稱為正形投影），採用正形投影時，在三角測量中大量的角度觀測元素在投影前後保持不變；在測制的地圖時，採用等角投影可以保證在有限的範圍內使得地圖上圖形同橢球上原形保持相似。

（2）在採用的正形投影中，要求長度和面積變形不大，並能夠套用簡單公式計算由於這些變形而帶來的改正數。

（3）能按分帶投影。