高振盪微分方程的漸近算法研究

《高振盪微分方程的漸近算法研究》是依託西安交通大學，由高靜擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：高振盪微分方程的漸近算法研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：高靜
• 依託單位：西安交通大學

中文摘要

隨著工程套用和高性能計算機的日益發展，快速準確求解高振盪微分方程逐漸成為核心問題。傳統時間步長法由於其本質的Taylor展式特點，很難有效準確的求解高振盪方程。本項目結合工程套用問題，深入研究振盪方程的解析特點，揭示解析特性與數值算法的內在聯繫，構建高效的解析漸近算法。主要包括新型振盪微分方程的漸近數值算法、新型振盪積分數值計算、多頻振盪微分方程的漸近數值算法以及線性高階振盪微分方程的解析數值算法；等。通過本項目的實施，試圖在高振盪數值算法的基礎研究的某些方面有所突破，進而能對工程科學領域和軟體設計領域提供理論依據和基礎。

結題摘要

隨著工程套用和高性能計算機的日益發展，不斷複雜化的物理方程對其數值算法的設計提出了越來越高的要求，因此構造和設計有效的現代數值算法以滿足工程套用的需要是數值分析工作者們的首要任務。在現代數值算法領域中，高振盪微分方程和高振盪積分的計算是目前國際上最新的熱點問題，也是非常重要的分支內容。 本申請項目主要研究針對帶有高振盪多頻強迫項的微分方程數值算法進行研究，主要包括：對於多頻振盪一階微分方程組、二階微分方程組、高階微分方程、微分代數方程以及Bessel振盪強迫項微分方程，構造了漸近展式算法。隨著振盪因子的增加，傳統的時間步長方法計算這些方程需要很大的計算量，甚至得不到有效的解。該漸近級數解能夠有效地逼近高振盪方程的解，特別是隨著振盪因子的增加，級數解的誤差反而減小；對短波散射奇異振盪積分，建立漸近分析，構造漸近展式算法。相比於傳統的Gauss求積算法，漸近算法只需很小的計算量就能得到相同精度的數值解。特別地，對於很高的振盪頻率，在Gauss算法得不到有效數值解的情況下，漸近算法仍能計算出高效的數值解；對調和平衡法模擬電路系統的穩態問題，我們研究了不同的小波在調和平衡法中的量化特性和稀疏矩陣特點，有利於更好的實現進一步的非線性疊代算法；基於Guass和構造算術Fourier的快速算法；等等。 通過本項目的實施，我們在高振盪數值算法的基礎理論研究的某些方面有所發現和突破，並且能對工程科學領域和軟體設計領域提供理論依據和基礎。