基本介紹
- 中文名：香農公式
- 表達式：C=H log2(1+S/N)
- 提出者：香農
- 套用學科：通信工程學
- 適用領域範圍：通信技術
香農公式簡介,公式驗證,擴頻通信,調製方式,相關人物,
香農公式簡介
香農定理指出，如果信息源的信息速率R小於或者等於信道容量C，那么，在理論上存在一種方法可使信息源的輸出能夠以任意小的差錯機率通過信道傳輸。
該定理還指出：如果R>C，則沒有任何辦法傳遞這樣的信息，或者說傳遞這樣的二進制信息的差錯率為1/2。
可以嚴格地證明；在被高斯白噪聲干擾的信道中，傳送的最大信息速率C由下述公式確定：
C=W*log2（1+S/N) （bit/s)
該式通常稱為香農公式。C是碼元速率的極限值，單位bit/s；W為信道頻寬，單位Hz；S是信號功率（瓦），N是噪聲功率（瓦）。
香農公式中的S/N是為信號與噪聲的功率之比，為無量綱單位。如：S/N=1000（即，信號功率是噪聲功率的1000倍）
但是，當討論信噪比時，常以分貝（dB）為單位。公式如下：
SNR（信噪比，單位為dB)=10 lg（S/N)
換算一下：
S/N=10^(SNR/10）
公式表明，信道頻寬限制了比特率的增加，信道容量還取決於系統信噪比以及編碼技術種類。
公式驗證
聯想到所熟悉的通信技術，很容易對香農公式進行定性地驗證，首先來看看網際網路的接入方式。最早使用的撥接方式都離不開數據機，這是一種在模擬鏈路（音頻電話線）上傳輸數據的設備，並且沒有太高的錯誤率。但細心的人一定會發現數據機的標稱速度為56kbps了，但實際網路傳輸的速度都遠低於56kbps。究其原因就會發現瓶頸在電話線上。
數據機
數據機可以用香農公式來計算電話線的數據傳輸速率。
通常音頻電話連線支持的頻寬W=3kHz，而一般鏈路典型的信噪比是30dB，即S/N=1000，因此有C=3000×log2（1+1000），近似等於30kbps，因此如果電話網的信噪比沒有改善或不使用壓縮方法，“貓”將達不到更高的速率。
綜合業務數字網（ISDN）出現後，用戶線的數位化技術有了巨大發展：取消了音頻頻寬3 kHz的限制，使雙絞線頻寬得到充分利用，傳輸數據速率達到144 kbps（2B+D）。
但ISDN的速率對寬頻業務而言還遠遠不夠，更高速度的數字用戶環路技術應運而生，其中目前使用較多的就是ADSL（非對稱數字用戶線環路）。ADSL採用頻分復用技術，在保留了傳統電話頻寬（0~4kHz）的同時，另外開闢了10~130 kHz和130~1100 kHz兩個頻帶分別用於上下行數據傳輸，此外ADSL還採用了全新的數字調製解調技術，傳輸頻寬的擴展和調製技術的革命，使其上行可達1Mb/s速率，下行速率更可高達8Mb/s。
雖然香農公式源於對數字通信的研究，但其分析方法對模擬通信一樣適用。
例如：中波調幅廣播不論是在音質上，還是在抗干擾性、抗衰落性等方面都遠不及調頻廣播，原因在於兩者所傳輸得信號本身是一樣的（可以理解為信源信息速率C一樣），但調頻廣播所占用的信號頻寬卻遠大於調幅廣播（即BFM>>BAM）因此調頻廣播信噪比要明顯優於調幅廣播。同樣的，單邊帶調幅和雙邊帶調幅之間的差異也可以用這一方法來分析理解。
擴頻通信系統圖
擴頻通信系統圖擴頻通信
從香農公式中還可以推論出：在信息最大速率C不變的情況下，頻寬W和信噪比S/N是可以互換的，也就是說，從理論上完全有可能在惡劣環境（噪聲和干擾導致極低的信噪比）時，採用提高信號頻寬（W）的方法來維持或提高通信的性能，甚至於可以使信號的功率低於噪聲基底。簡言之，就是可以用擴頻方法以寬頻傳輸信息來換取信噪比上的好處，這就是擴頻通信的基本思想和理論依據。
擴頻通信
擴頻通信擴頻通信(Spread Spectrum Communication）技術起源於上世紀中期。但在當時，該技術並沒有得到關注，直到進入80年代後才開始受到重視，並逐步實用化，擴頻通信技術是現代短距離數字通信（如衛星定位系統(GPS）、3G移動通信系統、無線區域網路802.11a/b/g和藍牙）中採用的關鍵技術。
擴頻通信的基本特徵就是擴展頻譜，具體做法是使用比傳送的信息數據速率高許多倍的偽隨機碼把載有信息數據的基帶信號的頻譜進行擴展，形成寬頻的低功率譜密度的信號來通信。
擴頻技術的精確定義是：通過注入一個更高頻率的信號將基帶信號擴展到一個更寬的頻帶內的射頻通信系統，即發射信號的能量被擴展到一個更寬的頻帶內使其看起來如同噪聲一樣。擴展頻寬與初始信號之比稱為擴頻處理增益（dB），典型值可以從10dB到60dB。
發射端，在天線之前某處鏈路注入擴頻碼，這個過程稱為擴頻處理，經擴頻處理後原數據信息能量被擴散到一個很寬的頻帶內。在接收端相應鏈路中移去擴頻碼，恢複數據，此過程稱為解擴。顯然，收發兩端需要預先知道擴頻碼。
頻譜特性
或許有人會覺得：擴頻占用了更寬的頻帶，浪費了寶貴的無線電頻率資源。這種觀點看似有理，其實不對。因為在擴頻通信中可以通過多用戶共享同一擴大了的頻帶得到頻率資源上的補償。
三大抗性
抗干擾、抗阻塞特性和交叉抑制特性
經過擴頻處理，信道上傳輸的數據信息與擴頻因子是相關的，而干擾和阻塞信號與擴頻因子無關，所以接收端經解擴處理後就只剩下有用的信息，而干擾和阻塞信號很容易就被抑制掉了，這種抑制能力同樣也作用於其它不具有正確擴頻因子的擴頻信號，如沒有授權的用戶因不知道原始信號的擴頻因子而無法解碼，或者說擴頻通信允許不同用戶共享同一頻帶（如CDMA）。因此，採用擴頻技術不僅可以獲得較高的抗干擾、抗阻塞特性和交叉抑制特性，而且可以實現復用。
保密性
擴頻通信中，信號電平可以低於噪聲基底，這樣以來，信息能量隱藏於噪聲之中，這是直序擴頻的顯著特點。從頻譜上觀察，充其量只是檢測到噪聲電平有一點提高而已！因此擴頻通信具有很好的保密性。
抗多徑衰落抑制特性
無線信道通常具有多徑傳播效應，從發射端到接收端存在不止一條路徑。如圖7所示，反射路徑（R）對直通路徑（D）產生干擾被稱為衰落。因為解擴過程與直通路徑信號D同步，所以，即使反射路徑信號R包含有相同的擴頻因子，也同樣會被抑制掉。
調製方式
直接序列擴頻（DSSS)
如果在數據上直接注入擴頻碼，則可得到直序擴頻（DSSS），在實際套用中，擴頻碼與通信信號相乘，產生完全被偽隨機碼“打亂”了的數據。在這種技術中，偽隨機碼直接加入載波調製器的數據上。調製器具有更大的比特率。用這樣一個碼序列調製射頻載波的結果是產生一個中心在載波頻率、頻譜為（（sinx)/x)2的直序調製擴展頻譜。
跳頻擴頻技術（FHSS)
如果擴頻碼作用在載波頻率上，我們就得到跳頻擴頻（FHSS）。FHSS偽隨機碼使載波按照偽隨機序列改變或跳變。顧名思義，FHSS中載波在一個很寬的頻帶上按照偽隨機碼的定義從一個頻率跳變到另一個頻率。
時跳變擴頻技術（THSS)
如果用擴頻碼控制發射信號的開或關，則可得到時間跳變的擴頻技術（THSS）。時跳變擴頻技術利用偽隨機序列控制功放的通/斷，該項技術目前套用不多。
這幾種擴頻技術並不互相排斥，可以綜合在一起形成混合擴頻技術，如DSSS+FHSS。
相關人物
克勞德·艾爾伍德·香農(Claude Elwood Shannon）， 1916年4月30日出生於美國密西根州，1936年畢業於密西根大學並獲得數學和電子工程學士學位，1940年獲得麻省理工學院（MIT）數學博士學位和電子工程碩士學位。1941年他加入貝爾實驗室數學部，並一直工作到1972年。在此期間，1956年他成為麻省理工學院（MIT）客座教授，並於1958年成為終生教授。香農於2001年2月24日去世。據傳，香農與大發明家愛迪生有遠親關係。香農的大部分時間是在貝爾實驗室和MIT(麻省理工學院）度過的。1948年至1949年間，他先後發表了《通訊的數學原理》和《噪聲下的通信》，文章闡明了通信的基本問題，給出了通信系統的模型，提出了信息量的數學表達式，並解決了信道容量、信源統計特性、信源編碼、信道編碼等一系列基本技術問題。這兩篇論文被視為資訊理論奠基之作。香農也因此一鳴驚人，被譽為“資訊理論之父”。
香農公式
香農公式