餘數函式

形如y=a{x/b}(b≠0)的函式叫做餘數函式，即x除a的餘數。也記做xmodb，讀作x余b。

基本介紹

• 中文名：餘數函式
• 定義：形如y=a{x/b}(b≠0)的函式
• 學科：數學
• 也稱為：x除a的餘數

定義

{a.b}[a.b]的意義

{a.b}是指a.b的小數部分；[a.b]指a.b的整數部分,a.b={a.b}+[a.b]

若a.b ≧0,則{a.b}=0.b,[a.b]=a

若a.b ≦0,則{a.b}=1-0.b,[a.b]=a-1

性質

	b>0	b<0
定義域	x∈(-∞,+∞)
值域	y∈[0，b)
增減性	在[kb,(k+1)b)增	在[kb,(k+1)b)減
過定點	（0，0）
奇偶性	f(-x)=b-f(x)是非奇非偶函式
圖像	函式圖像	函式圖像1
組成	fe(x)=x-eb	fe(x)=eb-x
周期	T=b

方程與不等式

直接

xmoda=c

x=ka+c(k∈Z)

xmoda>c

ka+c<x<(k+1)a(k∈Z)

xmoda<c

ka<x<ka+c(k∈Z)

間接

1、axmodb+c=0

設xmodb=y轉化成ay+c=0求解。

2、axmodb+cxmodb+d=0

設xmodb=y轉化成ay+cy+d=0求解。

3.

∑e=1a1ex1modb =c1

∑e=1xa2ex2 modb=c2

……

∑e=1anexnmodb=cn

設xemodb=ye轉化成

∑e=1a1e y1=c1

∑e=1a2ey2 =c2

……

∑e=1aneyn=cn

求解。

4.

∑e=1a1exmodb1 =c1

∑e=1xa2exmodb2 =c2

……

∑e=1anexmodbn=cn

設xmodbe=ye轉化成

∑e=1a1e y1=c1

∑e=1a2ey2 =c2

……

∑e=1aneyn=cn

求解。

求得

ye=c'e時

得x=k[be]+[ce ]（則[be]是be的最低公倍數。）

運算

公式

(x+y)modb=(xmodb+ymodb)modb

(xy)modb =(xmodbymodb)modb

(/y)modb=(/ymodb)modb

(x)modb=(xmodb)modb

y=A(wx+v)modb+z（A>0,v>0)

圖像：先把 y=xmodb的圖像向左（v>0）或向右（v<0)平移/v/個單位，再把所得的點的橫坐標縮短（w>1)或伸長（0<w<1)到原來的1 / w個單位長度，再把所得的點的縱坐標縮短（A>1)或伸長（0<A<1)到原來的1 / A個單位長度，向上（z>0)或向下（z<0)平移/z/個單位。

微積分

y=xmodb不可導；

∫xmodb=/2x+c

套用區域

（1）星期,b=7

（2）時間,b=24,12

（3）三角函式,b=360°∪180°

（4）循環的東西

例題

方程與不等式

例1：解方程：xmod4=0

解：x=4k(k∈Z)

例2：解不等式：4xmodb +3xmodb+3<0

解：a=4>0,又△=9-3×4=-3<0,原不等式的解集是☉。

運算

例：計算1/xmod3(x>1)

解：=x^-1mod3

=(xmod3)^-1

套用

例1：今天是星期二，再過12天是星期幾？

=(2+12）mod7=14mod7-=0

再過12天是星期日。

例2：今天是11月12日，再過30天是幾月幾日？

=（12+30）mod30=12

再過30天12月12日

例3：會議23：30開始，開了2h,幾時結束？

=(23.5+2)mod24=1.5

1：30結束