餘弦運算元函式

餘弦運算元函式(cosine operator function)是用來表示巴拿赫空間中二階線性自治微分方程的解的運算元函式。設X是巴拿赫空間，L(X，X)是映X到X內的有界線性運算元空間，運算元函式C(t)：R→L(X，X)若滿足：1.C(0)=I；2.C(s+t)+C(s-t)=2C(s)C(t)，對所有的t，s∈R；3.對一切x∈X，C(t)x對t∈R連續，則稱C(t)為X上的一個強連續餘弦運算元函式。

基本介紹

• 中文名：餘弦運算元函式
• 外文名：cosine operator function
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：抽象空間中的微分方程
• 相關問題：巴拿赫空間、有界線性運算元等

基本介紹

餘弦運算元函式是用來表示巴拿赫空間中二階線性自治微分方程的解的運算元函式。設是巴拿赫空間，是映到內的有界線性運算元空間，運算元函式若滿足：

1.

2. 對所有的

3. 對一切對連續；

則稱為上的一個強連續餘弦運算元函式。有如下基本結論：

對於巴拿赫空間中的每一強連續餘弦運算元函式，存在惟一的閉稠定線性運算元，使得對每一，是微分方程

對的惟一解，如此運算元稱為的生成元(或無窮小生成元)。

餘弦運算元函式的生成定理

餘弦運算元函式的生成定理(the generation theorem of cosine operator functions)是刻畫閉稠定線性運算元成為一個強連續餘弦運算元函式生成元的特徵的定理。設是巴拿赫空間，A是X上的一個閉稠定線性運算元，則A是一個強連續餘弦運算元函式的生成元，或者等價地對每一二階微分方程

對有惟一解滿足(對是一個非負不減函式)的充分必要條件是，存在常數和，使得對可逆，和

此外，若上條件成立，則對和{|對連續可微}，柯西問題

存在惟一解

這時由

定義的運算元函式稱為正弦運算元函式。