類數公式

在數論中，類數公式涉及了許多重要的不變數，是數域到其特殊的戴德金zeta函式賦值。

基本介紹

• 中文名：類數公式
• 分類：代數、代數數論
• 領域：數理科學

類數公式的一般性陳述

數域 K 有擴張 ， 為 K的實素點個數， 為 K的復素點個數。 K戴德金zeta函式記為： ，則有下列不變數：

1、 為K的理想類群的階

2、 K的素點

3、 為K的單位根個數

4、 為K在K/Q擴張的判別式

定理1（類數公式）數域 K 的戴德金zeta函式 絕對收斂，並對複平面 ，且s =1時，只有一個極點的亞純函式，其留數為：

這是最普遍的“類數公式”。在特殊情況下，例如當K是分圓域的擴張，也有簡化的類數公式。

狄利克雷類數公式

狄利克雷在1839年證明了第一類數公式，但它是關於二次型的類數而不是理想類的證明。設d是一個基本單位的判別式，寫判別ð二次型的等價類數h為（D）。 是Kronecker符號，則χ是Dirichlet特徵。記χ的LDirichlet L序列為L(s, χ)，

對於d>0，讓t> 0，u>0 則滿足u是最小的解Pell方程 ，如記: （ε也是實2次域的基本單位或基本單位的平方）， 對於d<0，記w為判別式d的二次型的自同構個數，則：

然後狄利克雷證明出：

這是上述定理1一個特殊情況：只對一個二次域K戴德金zeta函式的結論： 留數為 狄利克雷也證明了，L序列可以寫成有限形式，從而類數也可以寫成有限形式。類數有限的形式為：