頻率直方圖

頻率直方圖（frequency histogram）亦稱頻率分布直方圖。統計學中表示頻率分布的圖形。在直角坐標系中，用橫軸表示隨機變數的取值，橫軸上的每個小區間對應一個組的組距，作為小矩形的底邊；縱軸表示頻率與組距的比值，並用它作小矩形的高，以這種小矩形構成的一組圖稱為頻率直方圖。

基本介紹

• 中文名：頻率直方圖
• 外文名：frequency histogram
• 亦稱：頻率分布直方圖
• 所屬學科：數學（統計學）
• 相關概念：頻數、頻率等

基本介紹

設 是總體的樣本，其最小值記為 ，最大值記為b，又設 是小於 的最大整數， 是大於b的最小整數，將區間 等分成m個小區間

顯然，各小區間的長度均為 ，然後統計出樣本觀測值落入各小區間的頻數 ，並計算頻率 。以每個小區間為底，以 為高在平面直角坐標系內作小矩形，這些小矩形組成的圖形稱為頻率直方圖。顯然第 個小矩形的面積恰好是樣本觀測值落人第 個小區間內的頻率 。若總體X的機率密度為 ，則X的觀測值落入第 個小區間內的機率為 ，其幾何意義是以 為底，機率密度曲線 為頂的曲邊梯形的面積，於是有

因此，當樣本容量n無限增大時，頻率直方圖的階梯形折線將逼近於機率密度曲線。也就是說，當n充分大時，頻率直方圖近似地反映了機率密度曲線的大致形狀，在統計推斷中常常由此提出對總體分布形式的假設。

例題解析

【例1】某地區連續50年中四月份平均氣溫資料如下(單位：℃)：

6.9 4.1 6.6 5.2 6.4 7.9 8.6 3.0 4.4 6.7

7.1 4.7 9.1 6.8 8.6 5.2 5.8 7.9 5.6 8.8

8.1 5.7 8.4 4.1 6.4 6.2 5.2 6.8 5.6 5.6

6.8 8.2 6.4 4.8 6.9 7.1 9.7 6.4 7.3 6.8

7.1 4.8 5.8 6.5 5.9 7.3 5.5 7.4 6.2 7.7

以上述資料為依據，推斷該地區四月份平均氣溫的分布類型。

解： 樣本觀測值中最小值 ，最大值 ，取 。將區間 等分為7個小區間，區間長度為1，計算樣本觀測值落人各小區間的頻數與頻率，見表1。

表1

區間	頻數	頻率
[3,4]	1	1/50
(4,5]	6	6/50
(5,6]	11	11/50
(6,7]	15	15/50
(7,8]	9	9/50
(8,9]	6	6/50
(9,10]	2	2/50

根據表1作出頻率直方圖，見圖1，由直方圖可見，該地區四月份平均氣溫近似服從常態分配。

圖1

這個結論僅僅是對樣本數據的統計分析，對總體分布形式提出了一個假設，它是否符合實際，還要進行檢驗。

解題注意：可以根據縱軸標示區分是頻數直方圖還是頻率直方圖。

難點：從頻率直方圖得到數字特徵(均值、中位數、眾數等)。

【例2】將容量為n的樣本中的數據分成6組，繪製頻率分布直方圖，若第一組至第六組數據的頻率之比為2：3：4：6：4：1，且前三組數據的頻數之和等於27，則n等於( )。

(A)80 (B)75 (C)70 (D)65 (E)60

解： 頻率=頻數/總數，所以頻率之比=頻數之比，所以容量，選(E)。

【例3】某棉紡廠為了了解一批棉花的質量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度(棉花纖維的長度是棉花質量的重要指標)，所得數據都在區間中，其頻率分布直方圖如圖2所示，則其抽樣的100根中，棉花纖維的長度小於20mm的約有( )根。

(A)18 (B)20 (C)22 (D)25 (E)30

解：小於20 mm的頻率之和為(0.01+0.01+0.04)×5=0.3，所以100根中有30根，選E。