基本概念 如果一個圖形經過平面對稱後所得到的圖形仍是這個圖形本身,則這個圖形叫做關於平面的自相對稱的圖形,或叫做面對稱圖形 (如圖1,2所示)。如果一個圖形經過軸對稱後所得到的圖形仍是這個圖形本身,這個圖形叫做關於軸的自相對稱的圖形,或叫做軸對稱圖形,如果一個圖形經過中心對稱後所得到的圖形仍是這個圖形本身,則這個圖形叫做關於中心的自相對稱圖形,或叫做中心對稱圖形,這三種圖形統稱為對稱圖 形 。
在客觀實際中對稱圖形是一種常見的幾何圖形,例如自然界中的雪花和晶體、房屋建築、橋樑、桌子、碗、茶杯等等很多是對稱圖形,它們既美觀又實用。
三種對稱形式的關係 我們可以證明三種對稱形式之間有下面的關係.
定理1 如果直線
和平面M垂直相交於O點,一個空間圖形具有下列對稱性:
1. 關於平面M對稱;
3. 關於中心O對稱。
中的任意兩個,則它一定具有第三個。
這個定理的意思就是在一定的條件下,如果一個圖形同時是兩種對稱圖形,那么它一定是第三種對稱圖形。
證明 下面只證明其中的一種情況,例如如果一個空間圖形關於平面M對稱,且關於中心O對稱,那么它一定關於直線
成軸對稱。其餘情況可同理推證。
圖3 如圖3中,設A是圖形F上的任意一點,作A點關於平面M的對稱點A',再作A1 點關於O點的對稱
點A2 ,由於圖形F是面對稱圖形,又是中心對稱圖形,所以A1 、A2 都在圖形F上。
∴A1 O在平面P上,A2 點也在平面P上,
連線AA
2 和
交於C點,AA
1 與平面M交於B點,連線OB,
∵AB= A1 B,OA1 = OA2 ,
∴AC= A2 C,
平面對稱(鏡面反射) 如果圖形F和F’的對應點的連線段均被某一固定平面σ垂直平分,則稱圖形F和F’關於平面一對稱,並把從圖形F到F’的變換叫做平面對稱變換,簡稱
面對稱 。其中,平面σ叫做對稱平面,平面對稱變換又叫做平面反射、
鏡面反射變換 ,簡稱鏡面反射或平面反射。歐氏空間中的一種特殊變換,在歐氏空間中,把任一點A映成關於給定平面π對稱的點A′的變換稱為關於平面π的鏡面反射變換,平面π稱為反射平面,鏡面反射是第二種
正交變換 ,在鏡面反射變換下,連結變換的每一對對應點A,A′所得到的線段都垂直於反射平面π且被π所平分,平面π上的點都是不動點,鏡面反射變換在直觀上相當於把平面π看做一面鏡子,變換前後的對應點就好比是物與像那樣,在空間直角坐標系中,若把坐標平面xOy取為反射平面,則鏡面反射變換的代數表達式為
其中(x,y,z),(x′,y′,z′)分別是變換前的點與變換後它的對應點的坐標。
鏡面反射亦稱非特徵正交變換,又稱第二類正交變換,是一種特殊的正交變換。設V是歐氏空間,α是V的非零向量。對任意的β∈V,由
決定的變換是滿足
的正交變換,稱為由向量α決定的鏡面反射,其中
為單位變換。若V是n維歐氏空間,則存在V的標準正交基,使鏡面反射
在此基下的矩陣為