《非結構格線譜元法及其套用》是依託廈門大學，由許傳炬擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非結構格線譜元法及其套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：許傳炬
- 依託單位：廈門大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
研究內容包括兩方面: 新型譜元法設計和它在複雜問題上的套用。在基礎算法研究中，我們將設計並分析基於三角剖分的新型譜元法。該方法將允許使用無結構三角形、四邊形混合格線，因此與傳統的譜元法相比更具格線剖分的靈活性，這對進一步發展譜元自適應方法有重要意義。本項目的第一目標是發展一種易於分析且實現簡單的三角譜元法。我們希望新方法同時兼有譜收斂精度和快速張量積性質，這將使它具備與其它優秀算法媲美的優點。在套用研究中，首先計畫將上述方法套用於複雜流體計算，特別是可由Cahn-Hilliard或Allen-Cahn方程描述的多相流和流固耦合型血液流等。其次，我們將重點考慮分數階方程的高精度計算。分數階方程廣泛存在於複雜系統如粘彈性介質和具記憶功能的材料中，方程本身具有記憶特性。這一特性使得分數階方程的計算面臨極大的困難。我們旨在設計和分析適合處理該問題的高效譜方法。
結題摘要
- 設計了一個求解不可壓Navier-Stokes方程的並行譜元／方向分裂方法。設計的算法基於時間變數的方向分裂格式和空間方向的譜元法。為使算法絕對穩定，我們在設計中改進了譜元交面的處理，即通過引入一個交面加權平均，使用了一個新的定義在分片多項式空間中的離散導數運算元; - 設計了Navier-Stokes方程的基於非結構格線的混合譜元法，並成功用於不可壓流體的數值模擬。成功之處在於引入了一個可處理非結構格線交面連續性的新方法，其與眾不同之處是構造了便於操作的交面節點基函式，同時使得邊界條件的實現和非線性項的處理大大簡化; - 提出並分析了一類求解Cahn-Hilliard方程的全離散格式。該格式結合了大步長時間離散方法和空間譜元法。我們利用該格式模擬了2D兩相流體，觀察到了一些有意思的氣泡上升現象，其機理有待從物理上進行解釋; - 研究了人體頸動脈粥樣硬化斑塊的力學建模及其數值計算。頸動脈粥樣硬化斑塊的動力學行為由Navier-Stokes 方程和彈性方程耦合描述。藉助一定的假設，我們將該問題簡化為一個彈性力學方程，並構造了一個針對模型簡化方程的有效算法; - 研究了具有隨機係數的Stokes方程的譜方法。基於有限維Karhunen–Loève分解，我們利用隨機Galerkin逼近將原始的隨機Stokes方程轉化為一個具確定性係數的耦合Stokes方程組。結合P_NxP_{N-2}匹配譜方法和塊Jacobi疊代，我們設計了一個有效算法，並證明了離散問題的適定性; - 在分數階偏微分方程的理論和數值計算方面，我們構造了一系列高階格式; - 設計了一種新型的單區域上的三角譜方法，建立了LBB相容性條件，並推導了誤差估計；研究了新型三角譜方法的基於Schur補的疊代算法; - 在基礎理論研究方面，考察了分數階方程兩點邊值問題解的正則性，得到了當右端項無窮光滑時，方程的解在一定的假設條件下也是無窮光滑的，這為研究分數階的高階數值方法提供了理論依據。其次，我們研究了無約束的時間分數階擴散方程 最優控制問題的譜方法，推導了一階最優性條件，對時空譜離散逼近作了先驗誤差分析，設計了求解離散最優控制問題的共軛梯度算法，並給出了選擇最優疊代步長的方法。
