非凸稀疏最佳化的恢復條件與低複雜度算法的研究

《非凸稀疏最佳化的恢復條件與低複雜度算法的研究》是依託中國人民解放軍國防科技大學，由張慧擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：非凸稀疏最佳化的恢復條件與低複雜度算法的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：張慧
• 依託單位：中國人民解放軍國防科技大學

中文摘要

稀疏最佳化研究如何從不定的線性方程系統中尋找特殊結構的解（如稀疏恢復中的稀疏向量解和低秩恢復中的低秩矩陣解），該問題是信號圖像處理、壓縮感知、機器學習、高維統計、大數據等諸多科學與工程領域中的核心問題。近年來，以壓縮感知理論為代表的凸型稀疏最佳化研究取得了很大進展，而觸及到稀疏問題本質的非凸稀疏最佳化的研究還處於初級階段。本項目一方面通過開發非凸函式的正則性質，研究非凸稀疏最佳化中的稀疏恢復解唯一性與穩健性條件；另一方面，通過結合活躍集方法與擬牛頓算法的思想，開發低維子空間中二階梯度信息，設計全局收斂的低複雜性稀疏最佳化算法。本項目的研究成果既可為深入理解非凸稀疏最佳化的內在機制提供基礎理論，也可為大規模稀疏最佳化問題提供高效的求解算法，因此具有理論和套用的雙重意義。

結題摘要

在壓縮感知和稀疏最佳化的背景下，課題組從非光滑最佳化問題的幾何條件、梯度型算法的收斂性理論、基於Lasso模型和Dantzig模型的稀疏恢復的充要條件、以及相位恢復問題開展研究。主要取得了如下代表性成果：1. 構建了研究限制強凸性、誤差界條件、二次增長條件以及Kurdyka-Łojasiewicz 性質的理論框架；2. 提出了統一的梯度型算法的收斂理論；3. 解決了Lasso模型和Dantzig模型的一個關於稀疏恢復充要條件的公開問題；4. 提出了相位恢復的（稀疏）疊代重加權算法。相關理論成果Google學術引用70餘次，引用者包括Lagrange 獎得主Adrian Lewis教授和Farkas獎得主Zhiquan Luo教授等著名學者。