《非交換對稱函式在代數組合學中的套用》是依託北京大學，由王國亮擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：非交換對稱函式在代數組合學中的套用
- 依託單位：北京大學
- 項目負責人：王國亮
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
非交換對稱函式理論最早由大數學家 Gelfand 研究和發展。隨著它在拓撲學、代數幾何學、表示論等眾多領域上的廣泛套用，非交換對稱函式理論與組合數學問題的交叉研究已成為當今代數組合學的前沿課題之一。.本項目旨在開拓新思路將非交換對稱函式理論套用到組合數學研究中，結合組合數學的方法和技巧，解決代數組合學中的幾個重要猜想，包括Krattenthaler在2005年提出的B型置換行列式猜想和B型非交分拆行列式猜想等。同時，我們將明確非交換對稱函式與楊表、有序整數分拆等基本的組合對象之間的內在關係，發展非交換對稱函式的秩理論。.非交換對稱函式在很多數學領域中扮演非常關鍵的角色，比如自由李代數、Hecke代數、正交多項式理論等。本項目的研究成果將豐富非交換對稱函式理論，推進分拆等組合對象的研究，並為交換對稱函式在其它數學領域中的套用提供更多的理論支持和套用實例。
結題摘要
項目研究按計畫進行，項目組在國際期刊發表論文4篇，參加國內外學術會議7次，共做會議報告4次。 主要成果集中在置換與集合分拆的組合結構方面。在置換方面，項目組考慮Callan提出的“壓平置換”的6個統計量，即降、升、123-子詞、321-子詞、峰和谷。項目組利用核方法、Euler多項式、第二類Chebyshev多項式得到它們的生成函式的具體表達式。進一步地，項目組考慮固定長度的壓平置換中的型xy-z出現的次數。這樣的型一共有6種。利用對稱函式，項目組對型12-3、21-3、23-1和32-1分別找到其分布所滿足的遞歸關係，發展出一套一致的渠道求其具體表達式。這些遞歸關係能給出規避這些型的壓平置換的個數及其出現次數的平均數；證明了型21-3和型31-2出現次數的平均數相等；對於最後一種型13-2, 項目組利用核方法和遞歸關係證明了，在型13-2出現次數固定的情況下，壓平置換的個數的生成函式是有理函式。在集合分拆方面，項目組把Reiner定義的B型集合分拆推廣到$B$型染色分拆。通過考慮B_n型染色分拆的個數的生成函式，項目組得到染色B_n型分拆的總數的漸進表達式，誤差控制在O(n^{-1/2}log^{7/2}(n)). 本項目屬於預探索項目，原定研究目標是利用非交換對稱函式解決B型置換行列式猜想和B型非交分拆行列式猜想等，尚未得到徹底解決。項目組在尋求行列式的特徵向量方面取得非平凡的進展，但是未能求得每個特徵值的重數。原定的技術路線的思想仍在討論中。
