霍普夫－里諾定理

數學中，霍普夫—里諾(Hopf–Rinow)定理是關於黎曼流形的測地完備性的一套等價命題，以海因茨·霍普夫和他的學生維利·里諾命名。

基本介紹

• 中文名：霍普夫－里諾定理
• 外文名：Hopf–Rinow theorem
• 分類：數理科學

簡介

霍普夫－里諾定理如下：

設M是黎曼流形，則下列命題等價：

1. 的有界閉子集是緊的。

2. 是完備度量空間。

3. 是測地完備：對 中任意點 ，指數映射 可定義在整個切空間 。

而且，以上任一條均可導出對於中任何兩點 和 ，存在連起兩點的測地線使長度最短（測地線一般是極值，不一定是最小值）。

推廣

霍普夫—里諾定理推廣至長度度量空間如下：

若一長度度量空間 是完備和局部緊，那么 中任意兩點可以用長度最短的測地線連起，的任意有界閉子集是緊的。