霍奇斯-萊曼估計

霍奇斯-萊曼估計(Hodges-Lehmann Estimation)是觀測值有可加性誤差時未知參數的一種估計。設樣本觀測值X₁，X₂，…，X_n與待估計未知參數θ有如下關係：X_i=θ+e_i (i=1，2，...，n)，其中e₁，e₂，…，e_m無法直接觀測的隨機誤差，相互獨立且服從關於原點對稱的連續型分布(未必同分布)。記Z_ij=(X_i+X_j)/2（1≤i<j≤n）。用隨機變數列{Z_ij)的中位數做θ的估計量，稱做θ的霍奇斯-萊曼估計量。其優點是可以避免異常觀測值影響。

基本介紹

• 中文名：霍奇斯-萊曼估計
• 外文名：Hodges-Lehmann Estimation
• 所屬學科：數學（統計學)
• 適用條件：觀測值有可加性誤差時
• 提出者：Hodges-Lehmann

基本介紹

霍奇斯-萊曼估計(Hodges-Lehmann估計)是指兩個沒有刪失的數據樣本 和 之間位置差的估計量，其中 ，定義霍奇斯-萊曼估計量為：

中位數

相關分析

基於符號檢驗的估計

設 是總體分位數，考慮假設

令 。

對取定的顯著水平 ，有k滿足，

當 時接受 ，否則拒絕 。

由利用檢驗函式構造置信區間的方法， 的置信度為 的置信集為：

由於 是 的不增函式。易見，

若且唯若

， 若且唯若

於是

由(2)

為簡單起見，可以 作為 的 的置信區間。

由(3)確定的區間長生，隨 的增加而減小，當 =1—0時，區間長度達到最短。它的中點 可做為 的點估計。易見，這最短區間為

其中： 。

即

恰是樣本中位數。

不難驗證，區間(4)的端點滿足，

易見 為 的中位數。

Hodges-Lehmann估計

將上述確定 的估計方法推廣到一般情形，就得到所謂Hodges-Lehmann估。給定定義如下：

設X₁，X₂，…，X_n是抽自 的簡單樣本。F(x)連續，在原點鄰域內嚴格增，且 。

設 是檢驗假設

的統計量，V的分布與F無關，其中位數為 。

令

是 的不增函式。令

稱估計 為Hodges-Lehmann估計。

進而，令

其中 。

則 是 的基於V的置信區間。

直觀地講Hodges-Lehmann估計 可視為方程

的解，或解區間的中點。