霍奇分解定理是一個由數學家霍奇提出的關於微分p形式空間問題的定理，是微分p形式空間可以分解為其被運算元作用的像集與調和p形式空間的直和的定理。
基本介紹
- 中文名：霍奇分解定理
- 外文名：Hodge decomposition theorem
- 適用範圍：數理科學
簡介,調和p形式,黎曼流形,
簡介
霍奇分解定理是微分p形式空間可以分解為其被運算元作用的像集與調和p形式空間的直和的定理。
設M是n維定向的緊黎曼流形，對每個整數p(0≤p≤n)，Hp是有限維的，且M的光滑p形式空間Ep(M)有如下正交直和分解
因此，方程△ω=α有一解。ω∈Ep(M)的充分必要條件是，p形式α與調和p形式的空間正交，即當α∈(Hp)⊥時，△ω=α有惟一解ω∈Ep(M)。
調和p形式
調和p形式是經拉普拉斯-貝爾特拉米運算元作用為零的微分p形式。
記
其中△為M上的拉普拉斯-貝爾特拉米運算元，Hp中所有元素均稱為調和p形式。
黎曼流形
黎曼流形是一黎曼度量的微分流形。
設M是n維光滑流形，若在M上給定一個光滑的二階協變張量場g，稱(M，g)為一個n維黎曼流形，g稱為該黎曼流形的基本張量或黎曼度量，如果滿足：
1.g是對稱的，即：g(X,Y)=g(Y,X) (X,Y∈TpM,p∈M)；
2.g是正定的，即：g(X,X)≥0 (X∈TpM,p∈M)，且等號僅在X=0時成立。
簡單地說，黎曼流形就是給定了一個光滑的對稱、正定的二階張量場的光滑流形。
