電象法

電象法是電動力學中用於求解在邊界面，（如接地導體或保持勢不變的導體）前面有一個或幾個點電荷問題的方法。在一定條件下, 從邊界面和電荷的幾何位置能夠判斷在所考慮的區或者適當位置放置一個或幾個量值合適的電荷, 就能夠模擬所需要的邊界條件。這些電荷稱為象電荷, 而這種用一個帶有象電荷而又無界的擴大區域來代替有界區域的實際問題的方法, 稱為電象法。

基本介紹

• 中文名：電象法
• 外文名：mirror image method
• 套用領域：電磁學
• 相關術語：象電荷、靜電場、唯一性定理

電象法實質是用“ 鏡象電荷” 來“ 替換” 導體表面的感應電荷, 並仍能保證導體表面以及導體以外空間的邊界條件不變, 從而可用較簡的電荷分布求得場的分布。對於只有一個邊界面的情況, 電動力學中作出了詳細介紹, 當具有兩個或兩個以上邊界面時, 則產生無限多個象電荷, 用這些系列象電荷代替導體表面的感應電荷的方法, 稱為系列電象法。

電象法解題思路

電象法的理論依據是唯一性定理, 解題的思想是“等效代替”, 即將所研究的區域實際邊界上複雜的未知分布的電荷用區域外假想的較簡單的電荷分布代替, 使象電荷與原電荷在求解區域內滿足泊松方程, 在邊界上滿足邊值關係及邊界條件。因此如何確定象電荷的具體位置及大小就成為焦點。

1.正確寫出償試解

確定象電荷的位置和大小其關鍵是要給出正確地的償試解, 要求(1) 物理意義清晰;(2) 把實際上不均勻的介質看成均勻介質去處理; (3) 注意各項量綱統一。在圖一所示的情形里求空間電勢時, 正確的試探解的形式應為:

圖1一 利用電象法求解第一步：寫出嘗試解

而不是

2.注意求解區邊界, 正確運用邊界條件

邊界的形狀及邊界面上的勢(或電量) 決定了象電荷的大小、位置及個數, 所以確定邊界及邊界條件尤為重要。如圖二所示, 內外半徑分別為R 1和R 2的接地導體球殼, 殼外距球心a 處有一點電荷q, 求殼外空間電勢, 此題中殼內象電荷是由確定的。若將點電荷置於殼內求解殼內電勢時(如圖3) , 注意到求解區邊界為R = R 1 的球面就不難得出殼外象電荷。若導體界面不是球形, 是平面或有其它形狀, 則會得到截然不同的結果。由此可見不同的邊界條件、不同的界面直接影響象電荷的多少、大小和位置。

圖二 注意求解區邊界

3.深刻領會唯一性定理, 靈活運用電象法

唯一性定理是電象法的理論依據, 它告訴我們已知求解區V 內自由電荷分布,給定V 的邊界上的勢或則V 內勢唯一確定, 對於有導體存在時情形還須在上述條件基礎上再補充一條即已知每個導體體殼帶電量、電勢相等, 因此圖三、四、五 中殼外空間的場分布完全相同, 與殼內電荷q1的位置及殼內表面的形狀無關, 這是唯一性定理的必然結果。

圖三、四、五 唯一性定理

總結：對於導體殼只要殼的外部形狀、尺寸完全一樣, 殼的外表面帶電量相同, 殼外空間電荷分布相同, 那么即使內部形狀大小、電荷位置不同, 殼外空間的電場是唯一的, 亦即殼外空間的電場完全由殼的外表面(形狀與大小)、外表面電荷以及殼外空間電荷分布決定。同理殼內空間的電場完全由殼的內表面、內表面電荷及殼內電荷分布決定。此外, 運用電象法還應注意象電荷必須是在求解區域之外, 以及能夠求解問題的局限性, 對於邊界形狀簡單(平面、球面等) 且電荷為點電荷或者較簡單連續分布(如直線分布等) 問題較為適合, 對於更複雜的情況往往很難確定象電荷, 就必須採用其它方法。

套用電象法的注意事項

電像法求解向題的實質, 是在求解區域之外尋找一個虛電荷, 來等效地代替實際導體面或介質分界面上的感應電荷。值得注意的是： ( 1) 必須在求解區域以外找。( 2) 這個象電荷是個虛假的電荷, 不是一個與原電荷無關的獨立真實電荷. ( 3) 真實電荷是導體面或介質分界面上的感應電荷, 感應電荷的總量並不一定總是等於象電荷. 但是在實際套用中, 往往忽視後二點, 把象電荷視作為與原電荷無關的獨立的真實電荷, 而把等效替代視作為完全代替, 這是不妥當的.（4）電象與原電荷之間的互作用能僅僅是把電象換成與它相同的真實電荷的互作用能之半。

易錯點：如一個電偶極子P , 位於無限大導體平面附近, 若要計算它所受到的作用力, 通常是先求出電偶極子P與它的電象P’ 的相互作用能。然後根據, 求出作用力, 這裡的是電象P產生的場強.但是, 這裡把電偶極子與電象的互作用能, 同把電象換成與象完全相同的真實電偶極子時的互作用能, 等同起來了。這是不對的。事實上前者只是後者的一半。有趣的是, 從這二個互作用能, 計算作用力, 所得結果相同。原因在於, 偶極子與導體面的距離正好是兩個真實偶極子之間距離的一半, 因而虛位移也相差一半。互作用能是一半, 正好相互抵消。故更易引起誤解。根據同樣的理由, 對於接地的或中性導體球附近的電荷，以及穩定磁場中, 用鏡象法求解時, 互作用能也均應有因子。僅僅是之差, 就把電象和把電象換成與之相同的真實電荷時的差別, 完全區分開了. 二者是不同的物理圖象和概念, 決不能混為一談. 因此正確的掌握和運用電象法, 必須清晰的了解電像法求解的這類間題的物理圖象和電象法的實質。盲目地代用公式, 碰巧又湊對了答案, 往往把問題的本質掩蓋了。