雷劈數

發現

印度數學家卡普列加（Dattaraya Ramchandra Kaprekar, 1905 - 1986）在一次旅行中，遇到猛烈的暴風雨，他看到路邊一塊牌子被劈成了兩半，一半上寫著30，另一半寫著25。這時，他忽然發現30+25=55，55^2=3025，把劈成兩半的數加起來，再平方，正好是原來的數字。從此他就專門蒐集這類數字。

按照第一個發現者的名字，這種怪數被命名為“卡普列加數”或“雷劈數”或“卡布列克怪數”，也叫“分和累乘再現數”。

卡氏數可以指平方後的數，亦可指平方前的數，常常不加區分。

求法

人們容易找到其他的數也具有這樣的性質。例如，易知2025具有該性質：20+25=45，45^2=2025。

求雷劈數的方法很多，從初等數學到高等數學，應有盡有。以下是兩種最簡單的辦法（以兩位數+兩位數為例）：

方法一

設該數的前兩位為x，後兩位為y，根據定義，有

(x + y)^2 = 100x + y

即 x^2 + 2(y - 50)x + y^2 - y = 0。

該方程的判別式D=4(2500 - 99y)必須是完全平方數，而y本身也必須是平方數的尾數，故可求得y等於1或25，從而求得四個結果2025，3025，9801和0001（捨去）。

方法二

同樣設該數的前兩位為x，後兩位為y。於是有

(x + y)^2 = 100x + y = x + y + 99x

(x + y)(x + y - 1) = 99x

從而看出x + y與x + y - 1中有一個是9的倍數，另一個是11的倍數（當然依照位數不同，也可能是別的因數），從而找出候補者44，55和99。下略。

用以上方法，亦可找到其他位數的雷劈數，如7777^2 = 60481729；6048 + 1729 = 7777。目前最小的雷劈數是81

簡單性質

一般而言，考察雷劈數時，一般不考慮分割後的一部分全部為0的情況（如10+0）。亦不考慮由0開始的數字（如0+1）。

最小的奇雷劈數是81：8+1=9 9² = 81。

最小的雷劈偶數是100:10+0=10 10²=100

如果M^2是雷劈數，那么(10...0 - M)^2也是雷劈數.證明：

設M^2是雷劈數，可以分割成x和y兩部分，且M=x+y，y為n位數，則

M^2=10^n*x+y（雷劈數定理）

然而

(10^n-M)^2

=10^(2n)-2M*10^n+M^2

=10^(2n)-2M*10^n+10^n*x+y

雷劈數

基本介紹

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方法一

方法二

簡單性質

雷劈數表

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