雪爾維斯特定理

一有限點集M雪爾維斯特定理（Sylvester theorem），內容是平面上，過M中任意兩點作直線，必過M中的另一點，則點集M中的所有點必在同一條直線上。

基本介紹

• 中文名：雪爾維斯特定理
• 外文名：Sylvester theorem

雪爾維斯特定理（Sylvester theorem）

平面上一有限點集M，過M中任意兩點作直線，必過M中的另一點，則點集M中的所有點必在同一條直線上。

證明：假設點集M中有n個點，這n個點不全在同一直線上。過這n個點中的任意兩點所確定的每條直線，都必然有不在此直線上的點，對這一條直線，求出n個點中不在這條直線的點到該直線的距離，這些距離的個數是有限的，所以，其中一定有一個最小的，設為d0 （0為下標，下同）。

設d0是點A到B、C所確定的直線的距離。作AP⊥BC於P，則d0=AP。由題設，直線BC上還至少有這n點中的另一點E，顯然B、C、E三點中至少有兩點位於P點同側，不妨設C、E在P點同側，且PE≤PC（E可能與P重合），作EQ⊥AC於Q，記d1=EQ，應有d1≥d0。但△CEQ∽△CAP，所以（d1/d0）=（EQ/AP）=（CE/AC）≤（CP/AC）＜1，即d1＜d0，矛盾，即假設“這n個點不全在同一條直線上”不正確，所以點集M中的所有點必在同一條直線上。定理獲證。

評註：雪爾維斯特定理的證明是成功套用反證法和極端原理（又叫極端化原則）的著名問題。雪爾維斯特定理是Sylvester在1893年提出的，但直到1933年，才有人給出證明。最初的證明不但用了高深的數學知識，而且極為繁鎖。若干年後，才有人通過極端原理給出了一個初等證明，距問題的提出時間竟達半個世紀之久。由此我們可以看出極端原理的威力。