雙邊濾波器

在圖像處理上，雙邊濾波器（英語：Bilateral Filter）為使影像平滑化的非線性濾波器， 這個想法由C. Tomasi在1998年提出。 和傳統的影像平滑化算法不同，雙邊濾波器除了使用像素之間幾何上的靠近程度之外，還多考慮了像素之間的光度/色彩差異， 使得雙邊濾波器能夠有效的將影像上的噪聲去除，同時保存影像上的邊緣資訊。 在實作上，雙邊濾波器和非等向性擴散及Adaptive Smoothing不同，它是非疊代、區域性的， 能夠較以上兩個方法簡化。

基本介紹

• 中文名：雙邊濾波器
• 外文名：Bilateral Filter
• 提出者：C. Tomasi
• 提出時間：1998年
• 套用：圖像處理
• 學科：光學

原理

定義

雙邊濾波器定義如下：

其中為輸出影像，為輸入影像，函式的值代表給定像素上的色彩資訊。 我們將輸入影像和輸出影像寫成向量的原因是，操作的影像不限定是只有單一通道的灰階影像，他們也可以是多通道的彩色影像。 式子中的代表影像中的任意一點，而代表在鄰近的點。 而k為歸一化函式：

雙邊濾波器的目的是，對於影像中的每一個點，都要對鄰近的所有點進行加權平均，以達到平滑化的目的。 而對此，雙邊濾波器在鄰近的點採取了不同的權重， 策略包含了兩個核心函式和， 這兩個式子分別代表在空間幾何關係上的差異和光度/色彩差異上的差異。 以下將針對這兩個核心函式進行說明。

空間幾何關係

為了使影像平滑化，考慮像素之間的空間幾何分布情形，我們可以把低通濾波器寫成以下形式：

其中為描述影像中任何一點和鄰近的之間幾何距離的函式。 而為歸一化函式，如果這個低通濾波器需要保存影像的直流成分，我們可以把寫成：

如果這個濾波器是Shift-invariant的，那么c可以簡化為的函式，使得為一個和無關的常數。c在選擇上一個很好的例子是高斯函式（請見高斯模糊），它在影像平滑上經常被使用。

光度/色彩差異

接著我們考慮像素之間的光度/色彩差異，同樣可以寫出對此的濾波器函式：

和空間關係的濾波器不同的是，光度/色彩差異函式描述的是之間的光度差異。 因此差異函式的輸入為影像在兩點上面的內容，也就是這兩點對於影像函式的輸出。 對於灰階影像，差異函式s的內容很單純，舉例來說，我們可以直接對兩點上的灰階亮度值做相減；而對於彩色影像而言，我們可以使用Lab色彩空間來求得兩點之間的光度差異。 而歸一化函式可以寫為：

和空間幾何關係的式子不同，這邊的歸一化函式會和影像內容有關。如果差異函式s只和有關的話，我們稱s為未偏差的。

對光度/色彩進行低通濾波本身並不具有太大的意義，因為他只不過是將影像直方圖中聚集的部分集合在一起，也就是說讓影像直方圖中相似的色彩更向區域的平均靠近，色彩在空間中的分布情形並不會有任何的影響。 然而，如果同時考慮對空間幾何的濾波行為所代表的意義便成為，將影像平滑化的範圍限制在光度/色彩差異較小的部分，如此便能夠達到邊緣保存的目的。

離散形式

一般來說，在圖像處理上，影像的像素在空間上的分布是離散的，光度/色彩的儲存形式也是離散的。因此，雙邊濾波器常用的為其離散形式：

限制

雙邊濾波器由於核心函式會隨空間不同而變化，它是非線性濾波器，因此在實作上無法使用傅立葉變換來幫助運算。 如果使用暴力算法需要很大的時間來進行運算，在不同套用上有近似的快速算法可以大幅加快運算速度。

套用

雙邊濾波器可以套用在影像降噪、色調映射、圖像重照明和材質編輯。

色調映射是在有限動態範圍媒介上近似顯示高動態範圍圖像的一項7圖形學技術。列印結果、CRT 或者 LCD 顯示器以及投影儀等都只有有限的動態範圍。 本質上來講，色調映射是要解決的問題是進行大幅度的對比度衰減將場景亮度變換到可以顯示的範圍，同時要保持圖像細節與顏色等對於表現原始場景非常重要的信息。 因此，雙邊濾波器可以藉由對亮度相似區域進行模糊化之後，將高動態範圍圖像的梯度圖像分割成亮度相似區和亮度差異較大的部分，藉由改變兩者的權重，而將高動態範圍圖像映射成可顯示的有限動態範圍。