雙極定理

設τ是X上任一相容拓撲，A⊂X，則A⁰⁰=(A⁰)⁰等於A的均衡凸閉包，這個命題稱為雙極定理。

基本介紹

• 中文名：雙極定理
• 外文名：bipolar theorem
• 適用範圍：數理科學

簡介

極

（polar）

極是指在對偶線性空間中，由一個空間的子集通過雙線性泛函導出的另一空間的子集。

設(X,Y)是對偶線性空間，，則 Y 中的子集A⁰={||<x,y>|≤1對每個}稱為A的極。同樣對，也可定義B的極B⁰={||<x,y>|≤1對每個}。

定義

設τ是X上任一相容拓撲，，則等於A的均衡凸閉包，這個命題稱為雙極定理。特別地，A是A關於弱拓撲σ(X,Y)的均衡凸閉包。

推廣

當 X=Y 為希爾伯特空間時，X 的子空間 A的極A⁰=A^⊥。又當X是巴拿赫空間時，Y=X*，而時，

由於對極可以進行運算，這為對偶空間理論的研究帶來很大方便。

極大運算是拓撲線性空間理論中十分有用的工具之一。

相容拓撲

相容拓撲是一種局部凸拓撲。

設(X,Y)是對偶線性空間，若τ是X上的局部凸拓撲，使得X上關於τ連續的線性泛函全體(X,τ)’恰好是Y，則稱τ是X上的一個相容拓撲。

弱拓撲a(X,Y)是X上最弱的相容拓撲。

相容拓撲是對偶線性空間中很值得研究的一種局部凸拓撲，並且需要刻畫出所有這樣的拓撲。