隔離集(separated sets)是一對特定的子集。用於刻畫拓撲空間的子集之間的一種關係。利用隔離集概念可以定義拓撲空間的連通性；拓撲空間X是連通的若且唯若X不能表示為X中兩個非空隔離集的並。
基本介紹
- 中文名：隔離集
- 外文名：separated sets
- 領域：數學
- 學科：集合論
- 性質：一對特定子集
- 空間：拓撲空間
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概念
隔離集(separated sets)是一對特定的子集。用於刻畫拓撲空間的子集之間的一種關係。設A，B為拓撲空間X的子集。若滿足：
集合
集合是現代數學的一個重要的基本概念。當我們把一組確定的事物作為整體來考察時，這一整體就叫做集合。
例如，(1)從1到10這10個自然數的全體；(2)小於100的所有質數的全體；(3)全體自然數；(4)一個班所有學生這一整體；(5)世界上所有國家組成的一個整體；等等，它們都是集合的例子。
上述例子可以看出，它們都是分別由不同的對象組成的一個整體，它們的特點是有確定的對象和具有一定的範圍。所以集合這個概念可以用以下的語言來描述：
集合是具有一定範圍的、確定的對象的全體。集合也簡稱為集。
在數學中，集合是一個不加定義的“原始概念”。這就是說，不能用比它更原始的概念去定義它。因此，集合在數學中被作為原始的最基本的概念來定義其它數學概念。集合是數學概念的出發點。
集合概念具有以下一些屬性：
(1)集合指的是一類事物的整體，而不是指其中的個別事物。
(2)集合中的任一對象具有確定性，即對於任何事物，可以通過某種法則確定其是否屬於某集合，或不屬於某集合，二者必居其一。(應指出，不具有這條屬性的，界限不清的集合是模糊集合。我們這裡所說的集合不是模糊集合，而是普通集合。)
(3)在一般情況下，約定一個集合中的各個對象是互不相同的。凡一個集合中所有相同的對象均應合併起來成為一個對象。例如，由1，1，2，2四個數組成的集合，應變成由1，2兩個數組成的集合。
(4)在一般情況下，集合只與組成它的成員有關，而與它的成員的順序無關。如由1，2，3，4組成的集合與由2，1，4，3組成的集合是同一個集合。
(5)一個集合不必由同一類事物作為它的對象。例如，由2， 3，a，b可以組成一個集合。
集合一般用大寫字母A，B，C，…表示。
子集
集合論的一個重要概念。如果集a的任一元素x都是集b的元素，則稱集a為集b的子集，用符號a⊆b(或b⊇a)表示，讀作a包含於b(或b包含a)。如果a是b的子集，並且a、b不相等，則稱a是b的真子集，用a⊂b表示，讀作a真包含於b(或b真包含a)。如果a是b中滿足性質P的元素所成之集，則用a={x∈b|P(x)}表示，這樣的a就是b的一個子集。子集關係⊆應滿足下述三種性質：(1)自反性：對於任何集a，a⊆a；(2)反對稱性：對於任何集a、b，若a⊆b且b⊆a則a=b；(3)傳遞性：對於任何集a、b、c，若a⊆b且b⊆c則a⊆c。
集合論
德國數學家康託兒於19世紀末創立的，以集合為研究對象的一個數學基本分支。集合論的內容幾乎滲透到數學的一切領域，它在現代數學的發展中起了很大的作用，是現代數學各個分支的基礎.按照現代數學的觀點，數學各個分支都可以看作是研究具有某種特定結構的集合。例如，中學數學中幾何學可以看成是研究點的集合；代數學可以看成是研究數的集合以及這些集合的運算規律等。
集合論的發展可以分為兩個階段：
樸素集合論這個階段是從康託兒創立集合論開始到1908年。1874年康託兒擺脫了“數”的限制，首次提出具有一般化的集合概念。在集合概念的基礎上，定義了集合的子集、冪集、並集、交集、直積、以及集合到集合的映射等一系列概念.後來為了解決刻畫無限集合元素的多少和集合中元素間可能出現的順序等問題，康託兒又分別引出了集合的勢(集合的基數)和序數的概念。
公理集合論1900年前後，由於集合論本身出現了悖論(參閱“羅素悖論”)，說明了樸素集合論本身的不協調，當時人們認為是敲響了這門學科的喪鐘，並對數學推理的正確性產生了懷疑，而被稱為數學史上的第三次危機。為了克服悖論給集合論帶來的困難，當時有蔡梅羅、弗倫克爾等一些數學家致力於研究產生這些悖論的原因和解決問題的辦法，因而有公理化方案的提出，產生了多種集合論公理系統。各種公理化集合論都只是樸素集合論的嚴格處理而已。
拓撲空間
歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
