附屬變分問題

附屬變分問題的歐拉-拉格朗日方程可導出一個取弱極值的光滑函式滿足的必要條件，即雅可比條件。

基本介紹

• 中文名：附屬變分問題
• 外文名：accessory variational problem
• 適用範圍：數理科學

簡介

二階變分

二階變分是泛函沿任一函式方向的二階微分。

n元二次可微數值函式 在穩定點 取極小值的必要條件是黑塞矩陣

半正定，而此黑塞矩陣正定是 f 在穩定點x⁰取極小值的充分條件，與此類似，為討論泛函的平穩函式取極值的必要條件和充分條件，也需引進泛函的二階變分，以及相應泛函在平穩函式取極值的判別法，對於給定的泛函

如果用 代替泛函 J 的被積表達式中的 y 得J(α)，泛函 J 的二階變分相應於J(α) 按α冪的展開式中含α²的那個項的係數，記J的二階變分為δ²J，即

對於泛函 J(y) 有

其中 或

定義

對於泛函

其中

它們與泛函ℒ(v)=對應的變分問題稱為附屬變分問題。

變分問題

變分問題(variational problem)是有關求泛函的極大值和極小值的問題。最早研究的重要變分問題有：

1、最速降線問題：給定不在同一鉛垂線上的兩點A和B，求出連結A和B的一條曲線使其具有這樣的性質：當質點受重力作用沿著這條曲線由A下滑至B時所需時間為最少。

2、短程線問題：求曲面φ(x,y,z)=0上所給二點間長度最短的曲線，這條最短曲線稱為短程線或測地線。

3、基本的等周問題：求長為一定的封閉曲線l，使其所圍的面積S為極大。