阿達馬設計

阿達馬設計(Hadamard design)是一類特殊參數的對稱設計，即(4t-1，2t-1，t-1)-SBIBD。當4t階H矩陣存在時，經交換兩行、交換兩列、某行乘以-1、某列乘以-1這些變換的連續施行後，得到的仍然是H矩陣，因而總存在首行首列元素全為1的4t階H矩陣。若將划去首行首列後得到的子矩陣記為A，則將A中-1換作0得到的矩陣作為關聯矩陣，可以得到一個(4t-1，2t-1，t-1)-SBIBD。反之，若存在一個(4t-1，2t-1，t-1)-SBIBD，則將其關聯矩陣中的0換作-1，並且在上面及左邊加上元素全為1的行及列，便得到一個4t階H矩陣。因此，(4t-1，2t-1，t-1)-SBIBD的存在性等價於4t階H矩陣的存在性，這就是將這類設計稱為阿達馬設計的來由。

基本介紹

• 中文名：阿達馬設計
• 外文名：Hadamard design
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：組合學(組合設計)
• 屬性：一類特殊參數的對稱設計

基本介紹

定理1對於任意大的值，特別地對於，存在的設計。（此定理的證明可見下文定理2）。

定義設計稱為維數的阿達馬設計(Hadamard design of dimension m)。阿達馬設計在錯誤校正碼理論中非常重要。

相關概念與定理

阿達馬碼

尋找錯誤校正碼的一個方法是，首先集中精力尋找一個豐富的代碼字集合C，然後在C中實施信息編碼。

一個代碼有長度為n的代碼字，而且兩個代碼字之間的最小距離是，構建代碼的一個有效方法是使用設計的關聯矩陣，這個關聯矩陣的每一行有個1，而其餘項都是0，行的長度為，任意兩行在一列上同時為1的數量正好是個，對於。這樣的行可以定義代碼的代碼字。那么，d是多少?讓我們考慮兩行，比如說第i行和第j行，存在個列，在這些列上，這兩個行有1。在每一個行上有k個1，因此存在個列，在這些列上行i有1而行j有0，而且存在個列，其中行i有0，行j有1，所有其他的列在兩行上有0，所以這兩行有個位置不同。這一結論對每一對行都成立，所以

對於任意大的m，存在維數m的阿達馬設計，即設計。所以，對於任意大的，我們可以找到設計，因此，對於任意大的d，有代碼。對於給定維數m的阿達馬設計，我們有：

因此，如果對於任意大的m存在維數m的阿達馬設計，那么存在錯誤校正碼，對於任意大的m，這個代碼檢測至多個錯誤並校對至多個錯誤。這些代碼是代碼，因為每一個代碼字有長度我們稱它們為阿達馬碼(Hadamardcode)。

構建阿達馬設計

構建阿達馬設計的基本思想是，特定類型的矩陣給出這些設計的關聯矩陣。一個矩陣被稱為秩為n的阿達馬矩陣(Hadamard matrix of order n)，如果對於每一個和有等於+1或者等於-1，且如果

其中是的轉置矩陣，是單位矩陣。矩陣在對角線下方為n，其餘位置為。

一個阿達馬矩陣稱為是規範的(nomalized)，如果它的第一行和第一列只由十1組成，例如，矩陣

是規範阿達馬矩陣。而矩陣

也是規範阿達馬矩陣。

阿達馬矩陣的若干重要性質概括為如下定理。

定理2如果是秩為的規範阿達馬矩陣，那么對於某個m有，而且，除第一行(列)之外的每一行(列)正好有個+1和個-1，而且對於除第一行(列)之外的任意兩行(列)。都正好存在m列(行)，在這些列(行)上兩行(列)都是+1。

這裡，我們來看看定理2是如何給出定理1的證明的，給定一個規範阿達馬矩陣，我們可以定義一個設計。通過刪除第一行和第一列，在其剩餘部分，把每一個-1換成0就可以做到這一點正如我們將看到的那樣，這樣做給出一個設計的關聯矩陣。在(1)式的阿達馬矩陣上進行這一過程，首先給出

於是這個關聯矩陣是

這給出下面的區組：

而且產生一個的設計(從技術角度看，這不是一個設計，因為我們要求然而，這可以說明該過程)。

為了證明這一過程總能給出設計，需要注意，根據定理2，關聯矩陣A有個行和個列，所以，同樣，從每一行消去一個1(第一個1)，所以A的每一行有個1，且,。通過類似的討論，A的每一列有個1且。最後，任意兩行在第一列上同時有兩個1，所以現在同時有一個更少的對，即對。所以，。因此，我們有設計，其中且。

事實上，我們所描述的這一過程是可逆的，我們有下面的定理3。

定理3存在維數m的阿達馬設計，與且僅當存在秩為4m的阿達馬矩陣。

定理4如果是阿達馬矩陣，那么也是阿達馬矩陣。