關於纖維化的局部與整體不變數

《關於纖維化的局部與整體不變數》是依託華東師範大學，由陸俊擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：關於纖維化的局部與整體不變數
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：陸俊
• 依託單位：華東師範大學

項目摘要

纖維化是代數簇分類及模空間中的核心問題。纖維化不變數是反映代數簇性質的重要指標。曲面纖維化情形， 計算曲面的不變數等價於計算相對不變數， 而相對不變數可以分解為模不變數（一種整體不變數）和奇異纖維陳省身數（一種局部不變數）， 關於這些局部與整體不變數，已有很多經典結果，也有許多未解決的問題。高維纖維化情形， 關於整體不變數的結果還很少， 仍有許多問題待解決。 本項目主要研究以下幾個問題: 1.在已有的研究基礎上，尋找奇異纖維陳數的新不等式；2. 計算模不變數delta_i，嘗試先在小虧格情形驗證一個猜測的計算公式；3.分類有理直線上具有極小個數奇異纖維的非常模虧格2纖維化；進一步， 我們試圖構造g=3,4時恰有4條奇異雅克比纖維的纖維化（即加強的Arakelov不等等號成立情形）；4. 在已有的工作基礎上，進一步驗證高維情形Arakelov不等式和典範類不等式是嚴格的。

結題摘要

纖維化研究是代數簇分類和模空間理論中的核心問題。纖維化不變數是反映了代數簇性質的重要指標。對曲面纖維化來說，曲面的整體不變數計算可以歸結為相對不變數計算。後者又能分解為模不變數和局部不變數（奇異纖維陳數）。我們的項目課題就是要研究這些不變數之間的關係。 在該項基金的支持下，我們做了如下工作： (1).我們得到了關於整體不變數$h^{1,1}$ 的一個新的不等式。這是與談勝利、左康和于飛的合作工作，已正式發表於Math.Z.。 它可以重新導出強Arakelov不等式，並能刻畫等號成立時的代數幾何條件。這個不等式也能用來分類$h^{1,1}$ 較小時的代數曲面。 (2). 我們得到了奇異纖維陳數的一系列不等式。這方面的主要結果（與談勝利合作）已正式發表於Trans. AMS. 另外，我們利用關於常模Belyi纖維化的新結果，證明了周期奇異纖維陳數的肖剛型不等式（與龔成、談勝利合作）。 (3). 我與談勝利關於三次覆蓋奇點的合作工作也已正式發表於MAA期刊。我們利用纖維閉鏈和基本閉鏈的技術完整地解決了三次覆蓋奇點的分類問題，成功處理了典範解消中的(-1)曲線個數計算問題等等。利用這些結果，我們可以有效地計算虧格3非超橢圓纖維化的模不變數。這一工作可以看成肖剛關於二次覆蓋和超橢圓纖維化的工作的推廣。 (4).我和龔成、談勝利合作研究了僅含兩條奇異纖維的Belyi型纖維化。我們首先計算了這類纖維化的整體不變數，估計了K_f^2的最佳上界，精確刻畫了奇異纖維的結構。這部分工作已投稿於Osaka期刊，已獲了審稿人正面回復。其次是精確計算了這類纖維化的Mordell-Weil群，刻畫了奇異纖維與其直紋面纖維的關係。 (5). 我們在高維纖維化情形（和談勝利、左康合作），利用關於Higgs叢的辛普森理論給出一般情形的Viehweg-Zuo不等式，並給出不等式中的一個關鍵係數的有效估計。這個不等式可以看成曲面情形Arakelov不等式的推廣。