《關於帶邊流形上的k-Yamabe問題的研究》是依託中南大學，由賀妍擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：關於帶邊流形上的k-Yamabe問題的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：賀妍
- 依託單位：中南大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目將深入研究帶邊流形上的k-Yamabe問題。該問題是微分幾何中的一個熱點，在本質上就是要解一個Neumann邊值條件的完全非線性的偏微分方程。本項目將立足於已有的前期工作，將帶邊流形上的k-Yamabe問題分成如下四個問題展開研究：（1）給出帶邊流形上的k-Yamabe方程及相應的拋物方程的解的一階、二階估計。（2）尋找適當的泛函，使得帶邊流形上的k-Yamabe 方程為該泛函的Euler-lagrange方程。（3）確定拋物方程的初值，並得到解的存在性定理。（4）考察方程的變分結構與共形不變數的關係。我們認為這個問題解決的關鍵在於合適的估計定理的建立以及恰當的泛函的選擇。同時我們也認識到該問題豐富的幾何背景對於解方程是有著積極意義的。此外，共形類中方程的變分結構也有望揭示出流形本身的某些性質，這不能不說是個有趣的現象。
結題摘要
本項目深入研究了帶邊流形上的k-Yamabe問題。 k-Yamabe問題是一個幾何分析中的重要的課題. 它是要找一個共形的度量g, 使得它的Schouten張量的k-曲率是常數. 其中k-曲率是指二階對稱張量特徵值的k次對稱多項式. 特別的, 當k=1時k-Yamabe問題就還原成了經典的Yamabe問題。 我們在 k ≥ n/2, 2 ≤ k 小於 n/2 , Y1(M) 小於 Y1(Sn+), 邊界全臍，初始流形邊界的平均曲率非負的情況下，得到了k-Yamabe方程解的存在性結果.
