閉系統定律

閉系統定律(law of a closed system)亦稱豪伯定律、閉語句定理，數學中的重要定理，即對於構成一個閉系統的n個命題：如A_i成立則B_i(i=1，2，…，n)成立，則當B_i成立時A_i(i=1，2，…，n)也成立。

基本介紹

• 中文名：閉系統定律
• 外文名：law of a closed system
• 別稱：豪伯定律、閉語句定理
• 所屬學科：邏輯學
• 相關概念：閉系統，逆命題

基本介紹

在數學證明中，原命題和逆命題的關係是重要的，一般由原命題為真不足以斷定其逆命題為真，但是在邏輯學中有一個閉系統定律(又名豪伯定律)，從滿足一定條件的n個原命題為真，即可得到其相應的n個逆命題也為真。

閉系統與閉系統定律 如果n個原命題具有下述形式：

(1)如果A₁，則B₁；

(2)如果A₂，則B₂；

(3)如果A₃，則B₃，

並且A₁，A₂，…，A_n包括了所論問題所有的可能性，B₁，B₂，…，B_n互相排斥，此時稱這n個命題構成一個閉系統，則閉系統定律斷定，在這n個命題為真時，其相應的n個逆命題：

(1’)如果B₁，則A₁；

(2’)如果B₂，則A₂；

(3')如果B₃，則A₃

也為真。

閉系統定律的證明

下面我們只證明(1')為真，即如果B₁為真，則A₁為真。

如果A₁不真，則因為A₁，A₂，…，A_n包括了所有的可能性，即

為真，故必有A_i(i≠1)為真，又由於命題(i)為真，則有B_i(i≠1)為真，但B₁和B_i(i≠1)互斥，所以B₁和B_i不可能同時為真，由這個矛盾就證明了如果B₁為真，則A₁為真。

仿此可證明其餘(n-1)個逆命題成立。

舉例分析

【例1】在實係數方程ax²+bx+c=0(a≠0)的理論中，命題：

1.如果Δ=b²-4ac>0，則它有兩個不相等的實根；

2.如果Δ=b²-4ac=0，則它有兩個相等的實根；

3.如果Δ=b²-4ac<0，則它無實根。

該命題就是一個分斷式命題。這三個命題構成了一個閉系統。

由閉系統定律，在證明了1、2、3為真時，其相應的三個逆命題：在實係數方程ax²+bx+c=0(a≠0)的理論中，命題：

1.如果它有兩個不相等的實根，則Δ=b²-4ac>0；

2.如果它有兩個相等的實根，則Δ=b²-4ac=0；

3.如果它無實根，則Δ=b²-4ac<0。

必定為真。

【例2】在△ABC中：

1.AB>AC ∠C>∠B;

2.AB=AC ∠C=∠B;

3.AB<AC ∠C<∠B

組合而成的一個命題就是一個分斷式命題，這三個命題構成了一個閉系統。

其中包含了兩線段AB，AC之間所有可能的三種關係和兩角∠B，∠C之間相應的三種關係，條件與結論一一對應

由閉系統定律，在證明了1、2、3為真時，其相應的三個逆命題：在△ABC中，

1.∠C>∠B AB>AC;

2.∠C=∠B AB=AC;

3.∠C<∠B AB<AC

必定為真。

需要指出的是，在上面所舉的幾個例子中，n個原命題的前提不但包括了所有的可能性，而且也互相排斥；它們的結論不但互相排斥，而且也包括了所有的可能性。對於構成一個閉系統，這些條件是充分的，但不是必要的。