重分形分析是20世紀80年代以來分形幾何最重要的成果，已成為分形幾何的核心課題之一，它廣泛套用於動力系統、湍流、降雨量模型、地震和昆蟲數量的空間分布、金融時間序列模型及交通網路模型。本書側重將重分形分析理論套用於統計，特別是用統計學的觀點來估計分形維數是其他書所未涉及的獨到的貢獻。本書第一部分介紹背景和重分形測度的不同定義，特別是用格覆蓋和點中心球覆蓋的兩種構造。第二部分介紹大偏差下的重分形公式，主要討論通過大偏差理論得到上述兩種構造的“重分形機制”。第三部分討論Rényi維數的估計、性質及其套用。獨特的是將偏差分為內在與外在兩類形式，並通過理論及實例指出：內在偏差由機率分布的內在性質引起，外在偏差由取樣與所採用的統計方法形成，從而給出了一些實用的方法與技巧。同時給出豐富的套用實例，特別詳細討論了地震位置空間點模型。附錄部分概括介紹了各種維數的定義和大偏差理論
內容簡介,書籍目錄,
內容簡介
這是一本將重分形理論套用於統計的非常好的參考書。可供數學及相關專業高年級本科生、研究生及科研教學人員參考。
書籍目錄
目錄
中文版序
前言
符號表
插圖列表
第一部分 引言和預備知識
第1章 動機和背景
1.1 引言
1.2 分形集和重分形測度
1.3 動力系統
1.4 湍流
1.5 降雨量
1.6 地震模型
1.7 其他套用
1.8 重分形概念
1.9 全書概述
第2章 重分形公式
2.1 引言
2.2 廣義Rényi維數的發展歷史
2.3 廣義Rényi格維數
2.4 廣義Rényi點中心維數
2.5 重分形譜和重分形公式
2.6 格點情形的基本結論的複習
2.7 點中心情形的結論的複習
第3章 多項分布測度
3.1 引言
3.2 局部性態
3.3 全局平均和Legendre變換
3.4 分形維數
3.5 點中心構造
第二部分 大偏差下的重分形公式
第4章 基於格點的重分形
4.1 引言
4.2 大偏差公式
4.3 均勻空間樣本測度
4.4 樣本測度組成的族
4.5 Hausdorff維數
第5章 點中心情形的重分形
5.1 引言
5.2 大偏差體系
5.3 一族樣本測度
5.4 Hausdorff維數
5.5 格構造和點中心構造之間的關係
第6章 倍增級聯過程
6.1 引言
6.2 Moran級聯過程
6.3 隨機級聯
6.4 其他級聯過程
第三部分 Rényi維數的估計
第7章 q階點間距離和內在偏差
7.1 第三部分的引言
7.2 邊界效應
7.3 邊界的重數
7.4 FY(y)的分解
7.5 可微分布
第8章 點中心Rényi維數估計(q≥2)
8.1 引言
8.2 推廣的Grassberger-Procaccia運算法則
8.3 Takens估計
8.4 Hill估計
8.5 自舉估計過程
8.6 討論和例子
第9章 偏差的外在來源
9.1 引言
9.2 強加的邊界的影響
9.3 四捨五入的影響
9.4 噪音的影響
第10章 維數估計的套用
10.1 引言
10.2 進一步的估計和詮釋
10.3 空間與時間點模式
10.4 動力系統
10.5 一個過程是隨機的，還是決定性的?
10.6 具有冪律性質的隨機過程
第11章 地震分析
11.1 引言
11.2 數據來源
11.3 引起偏差的影響
11.4 結果
11.5 結果的比較和結論
第四部分 附錄
附錄A 集合的性質和維數
A.1 自相似集
A.2 Hausdorff維數
A.3 盒維數
A.4 Packing維數
附錄B 大偏差
B.1 導論
B.2 Cramér定理
B.3 G?rtner-Ellis定理
參考文獻
譯後記
《現代數學譯叢》已出版書目
插圖列表
圖1.1 Cantor測度的構造
圖1.2 Cantor測度的特徵
圖1.3 ξ=ξ∞時的Logistic映射的尺度刻畫
圖1.4 ξ=3.569945672時的Logistic映射
圖1.5 Lorenz吸引子
圖1.6 Wellington地震深度截面
圖1.7 Wellington地震震中：淺事件
圖1.8 Wellington地震震中：深事件
圖3.1 b=10時，多項分布測度的θ(q)
圖3.2 Cantor測度：?(y)的Legendre變換
圖3.3 Cantor測度：函式yq
圖3.4 Cantor測度：θ(q)的Legendre變換
圖6.1 Moran分形集
圖6.2 對數-正態級聯的重分形譜
圖7.1 當q=2時，正規分布的關聯積分
圖7.2 當q=2時，一致分布的關聯積分
圖7.3 預Cantor測度的關聯積分
圖7.4 Cantor測度的關聯積分
圖7.5 p0=0.5時，Cantor測度對應的Ф(y)
圖8.1 p0=0.5時，Cantor測度的D2變化
圖8.2 一致分布的D2估計
圖8.3 p0=0.5時，Cantor測度的D2估計
圖8.4 p0=0.2時，Cantor測度的D2估計
圖8.5 p0=0.5時，Cantor測度的維數估計
圖8.6 p0=0.2時，Cantor測度的維數估計
圖9.1 一致隨機變數：邊界的影響(Hill估計)
圖9.2 一致隨機變數：四捨五入的影響(D2的Hill估計)
圖9.3 Cantor測度加白噪聲(D2的Hill估計)
圖10.1 有或沒有間隔的多項分布測度
圖10.2 當p0=0.2時，Cantor測度的θ(q)的估計
圖10.3 當p0=0.2時，Cantor測度的?(y)的估計
圖10.4 模擬Moran級聯過程
圖10.5 對模擬Moran級聯過程的D2的估計
圖10.6 α=β時，Beta分布的維數估計
圖10.7 當ξ逼近ξ∞時，對Logistic映射的D2估計
圖10.8 當ξ=3.569945672時，對Logistic映射的維數估計
圖10.9 Lorenz吸引子的維數估計
圖10.10 Lorenz吸引子：各種延遲長度
圖10.11 Lorenz吸引子：平均相互信息
圖10.12 Lorenz吸引子的嵌入的D2估計
圖10.13 白噪聲的嵌入的D2估計
圖10.14 分式Brown運動
圖10.15 2維分式Brown運動的路徑
圖11.1 關東地震震中：深地震(經度和緯度)
圖11.2 關東地震震中：中等深度地震(經度和緯度)
圖11.3 關東地震震中：淺地震(經度和緯度)
圖11.4 關東地震深度的截面
圖11.5 惠靈頓維數估計：淺地震(平均點間距和Hill估計)
圖11.6 惠靈頓維數估計：深地震(平均點間距和Hill估計)
圖11.7 關東維數估計：淺地震(平均點間距和Hill估計)
圖11.8 關東維數估計：中等深度地震(平均點間距和Hill估計)
圖11.9 關東維數估計：深地震(平均點間距和Hill估計)
