基本介紹
- 中文名：邊界配置
- 外文名：boundary collocation
- 類別：力學
準晶有限板裂紋反平面問題的邊界配置法,數值方法概述,邊界配置法的發展,邊界配置法的優點,邊界配置法求壓電材料反平面問題,邊界配置的方法與其他數值解法比較,邊界配置法的線性方程組的程式設計,
準晶有限板裂紋反平面問題的邊界配置法
主耍通過對數值分析方法的概述，說明了邊界配置法是解答一維六方準晶有限板反平面問題的有效方法，並簡耍介紹了準晶材料的概念和性能，最後給出了主耍研究內容。
數值方法概述
有限差分法通過把沒有解析解的微分方程用有限個離散的格線數進行計算區域，並用差分近似表示控制方程中的微分項，近而求解代數方程的一種數值方法。自20世紀中葉開始，就有人用此方法套用於太沙基固結的研究，1985年趙維炳等W人採用差分法解答了Biot固結問題。由於此方法劃分的格線是規則的，使得在彈性力學中的套用大大受到了限制，當彈性體的邊界條件和受載情況複雜一點，往往無法求得偏微分方程的邊值問題的解析解。近些年來，有限差分法不斷地進行修改，不少的研究者採用此方法求解複雜介質地震波傳播問題和波的散射問題。邊界配置法是嚴格選擇滿足微分方程和外邊界條件的試函式，試函式的形式多樣，選取的好壞，很大程度上影響計算的工作量和結果的精確度。
邊界配置法的發展
邊界配置法發展於20世紀中期，Gross等最語早套用於選裂紋試件中，採用的應力函式是用極坐標表示的Williams級數，最後通過用邊界配置法分析應力強度因子。之後，科學家不斷地摸索邊界配置法的原理，如較比於其他數值解法，邊界配置法的優點在於它採用精也挑選適當的應力函式，不管針對任何問題，它所包含的近似只在表面，選取的巧力函式不但要考慮裂紋尖端附近的應力場具有的奇異性質，裂紋表面無外力作用等，還要滿足域內的平衡方程。至於其他的邊界條件，則由麗點法和最小二乘法近似滿足。由於邊界兩置法原理簡單，程式編制容易，因此王程實際中的一些材料，如岩石、木材等，研究這類材料及其裂紋問題在工程中有實際意義。
邊界配置法是在邊界上配置一些節點，利用級數形式給出計算結果。研究了邊界配置法在混合邊值問題中的套用和計算，採用邊界配置法研究了有限板邊裂紋問題，通過數值算例分析應力強度因子的結果。在平面內電場和反平面載荷作用下，通過用邊界配置法求解有限板含裂紋的壓電材料的應力強度因子表達式，並討論了應力強度因子與界面的幾何尺寸和裂紋長度的關係。把邊界配置法套用於裂紋體的反平面剪下問題，包括含邊裂紋、中也裂紋、雙邊裂紋和孔邊裂紋物體的反平面剪下等問題。採用邊界配置法研究有限大板的情況下，正交各向異性材料和壓電材料的反平面剪下問題，用邊界配置法研究有限板斜裂紋問題，並通過數值試驗分析了裂紋傾角對應力強度因子的影響，當傾角為零時，可得到直裂紋問題的應力強度因子。
邊界配置法的優點
邊界配置法計算裂紋問題具有許多優點。首先，送種方法具有廣泛性，不同形狀的裂紋問題可用相同的應力函式和計算過程分析。而其他一些方法，如保角變換法，耍針對不同的裂紋形狀，採用不同的變換函式進行計算。其次，與有限元法相比較，邊界配置法在空間維數的處理上不但少了一維，而且大幅度減少了輸入數據量，使得形成的代數方程組簡單易懂，這樣減少了計算時間，也提高了計算的準確度。有限元法雖然可W用來計算裂紋問題，但由於裂紋尖端附近應力集中，往往在這些區域要細分格線，從而使計算準備工作和計算時間增多，而精度卻並不理想。最後，邊界配置法原理通俗易懂，程式編制簡單。
邊界配置法求壓電材料反平面問題
從斷裂力學的觀點出發，採用邊界配置法研究了含中心裂紋的矩形截面的壓電材料在平面內電場和反平面變形作用下的應力場和電場的解，詳細介紹了該方法的程式設計過程。作為例子，計算了能量釋放率。結果表明，這種半解析半數值的方法程式編制簡便，而且具有足的穩定性和精確性。
邊界配置的方法與其他數值解法比較
反平面變形是一種較簡單變形，關於此類問題的研究，從國內外文獻中可以看到，對壓電材料的研究多限於無限大的介質或無限大的長條，計算方法採用積分變換和複變函數的方法，得到的是解析解。而實際中遇到的大多數問題是有限尺寸的壓電材料，運用上述方法得不到解，必須採用數值方法。採用的方法是邊界配置法研究了含中心裂紋的矩形截面的壓電材料長梁，將邊界配置法用於研究的壓電材料的裂紋問題。邊界配置的方法與其他數值解法相比，優點是顯而易見的，它所包含的近似只在表面，針對問題的特點採用精心挑選的嚴格滿足問題的微分方程、裂紋面邊界條件的函式，使計算的精度超過其他數值方法。
邊界配置法的線性方程組的程式設計
考慮的問題是包含中心裂紋的矩形截面的橫觀各向同性壓電材料，在截面的上下邊緣承受均勻的位移u3=w和均勻的電場強度E2=E0，在直角坐標系下，極化軸x3垂直各向同性面，裂紋在x1軸上，截面關於裂紋對稱。由於考慮的問題是反平面變形，因此，位移函式和電勢函式，從而得到應力場和電場的基本解。還不是真正意義上的解，其中的係數Ak， Bk為待定常數，由物體的周邊的邊界條件確定。原則上講，可以在邊界上取無窮多個點，每一點有兩個邊界條件，這樣便得到一個以係數Ak， Bk為未知量的線性代數方程組。最後可得到一個無窮代數方程組，解這個無窮方程組，便可以確定式中的無窮個係數Ak，Bk，於是便可以確定應力場和電場。但是，在實際工作中，不可能取無窮個點，只能取有限個點。因此， 將式中的無窮級數截斷為有限的M項，根據對稱性， 配點只需在半個矩形邊界進行，左、右邊界的配點數為N1，上邊界的配點數為2N2，總配點數為2N1+ 2N2。令2N1+2N2>2M,得出的線性代數方程組的個數大於未知數的個數，得出的解是最小二乘解，既避免了等額配點可能遇到的線性代數方程組線性相關以至不能求解的情況，另一方面，也提高了計算精度。
