遞推列

遞推列

遞推列(recursive sequence)亦稱遞歸列,指由前面的項能推出後面的項的數列,線性遞推列是特殊的遞推列。例如等差數列等比數列就是遞推列,也是線性遞推列。

基本介紹

  • 中文名:遞推列
  • 外文名:recursive sequence
  • 所屬學科:數學(線性代數)
  • 別名:遞歸列
  • 簡介:由前面的項能推出後面的項的數列
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基本介紹

遞推列指由前面的項能推出後面的項的數列,對所有n>p,滿足形如an=f(an-1,an-2,…,an-p)的關係式的序列{an},其中f為某個函式。p是某個固定的正整數,a1,a2,…,ap為已知數,p稱為這個遞推列的階數,上述關係式稱為遞推公式,給定a1,a2,…,ap,可以從它得到所有an
形如an+c1an-1+c2an-2+…+cpan-p=0(c1,c2,…,cp是常數)的遞推公式稱為線性遞推公式,相應的序列稱為線性遞推列,最簡單的遞推列是一階遞推列,即滿足an=f(an-1)的序列{an},它又稱疊代列等差數列等比數列都是線性的疊代列。
根據以上定義,將F和V均取為Q,則我們熟悉的Fibonacci序列是線性遞推列,
構成它的一個特徵多項式。我們知道,對於一個線性遞推列,在已知其特徵多項式及最初的幾個取值時,可以通過遞推的方法快速計算其後繼序列,下面我們舉一些線性代數中涉及的線性遞推列的例子,它們在後而的算法中扮演了重要角色。

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【例1】本例給出線性代數中一些熏要的線性遞推列,這裡最關鍵的是利用了線性代數中的Caley-Hamilton定理[,以下F均表示一般域。
1.取V=F,A∈V為任意方陣,則
為線性遞推列,A的極小多項式與特徵多項式都是a的特徵多項式。
2.設V=F,A∈F,b∈F為任意向量,注意到(A)的任意特徵多項式也將(Ab)化為零,故(Ab)也為線性遞推列。由a的元素生成的V中的線性子空間稱為A與b的Krylov子空間。
3.設V=F,A∈F,b,u∈F為V中的任意向量,則(Ab)的任意特徵多項式同樣將(uAb)化為零,故(uA)b也為線性遞推列。

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