基本介紹
定義,性質,證明,自然數,
定義
最小的一些過剩數是：12,18,20,24,30,36,40,42,48,54,56,60,66,70,72,78,80,84,88,90,96,100,102, 104，108，112，114，120，126，132，138，140，144，150，156，160，162，168，174，176，180，186，192，196，198，200，204，208，210，216，220，222，224，228，234，240，246，252，258，260，264，270，276，280，282，288，294，300，304，306，308，312，318，320，324，330，336，340，342，348，350，352，354，360，364，366，372，378，380，384，390，392，396，400，402，408，414，416，420，426，432，438，440，444，448，450，456，460，462，464，468，474，476，480，486，490，492，498，500，504，510，516，520，522，528，532，534，540，544，546，550，552，558，560，564，570，572，576，580，582，588，594，600，606，608，612，618，620，624，630...
以上列出的盈數都是偶數。最小的盈奇數是945。
性質
與盈數數相關的概念是完全數（σ(n) = 2n）和虧數（σ(n) < 2n），其中σ(n)為因數和函式，即n的所有正因數（包括n）之和。最早將自然數分為盈數、完美數和虧數的是Nicomachus所著的Introductio Arithmetica (公元前100年)。
1998年Marc Deléglise 證明了盈數在自然數中的自然密度介於0.2474 與0.2480之間。
奇盈數和偶盈數都有無窮多個，因為每個完全數和盈數的倍數（不包括它們自身）都是盈數。甚至，每個大於20161的數都可以寫成兩個盈數之和。許多盈數一部分真約數的和等於盈數自身，這樣的盈數也是半完全數，一個不是半完美數的盈數叫做奇異數；盈度為1的盈數叫做準完全數。
證明
假定有一正整數n，其除n自身以外的所有正整數因子的和為m（例如，若n為12，則其和為1+2+3+4+6=16），則正整數n必有以下三種情形：
m <n 虧數(deficient number) 1,2,3,4,5,7,8,9,10...
m >n 盈數(abundant number) 12,18,20,24,30 ...
最早這么命名虧數和盈數的是Nicomachus所著的Introductio Arithmetica (公元前100年)。
最小的一些過剩數是： 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …（OEIS中的數列A005101）
以上列出的過剩數都是偶數。最小的奇過剩數是945。
奇過剩數和偶過剩數都有無窮多個，因為每個完美數和過剩數的倍數（不包括它們自身）都是過剩數。甚至，每個大於20161的數都可以寫成兩個過剩數之和。許多過剩數一部分真因子的和等於過剩數自身，這樣的過剩數也是半完美數，一個不是半完美數的過剩數叫做奇異數；盈度為1的過剩數叫做準完美數。每一完美數的完全倍數以及每一盈數的倍數都是盈數(因為，當n>1時，σ(n)/n >1+1/n；且σ(n) 為積性函式multiplicative function，即n的所有正因子之和)。1998年Marc Deléglise 證明了過剩數在自然數中的自然密度介於0.2474 與0.2480之間。
每一大於20161的整數可寫成兩個過剩數之和。
半完全數全部都是過剩數（盈數）。
1024以內的盈數（編程實現）
1024以內的盈數（編程實現）自然數
亦稱非負整數。數系中最基本的一種數.即0，1，2，3，…表示的數，它是從數數過程中產生的。作為數數的結果，自然數反映了被數事物的個數，這是自然數作為基數的特點；作為數數的過程，自然數又反映了被數事物的先後順序，以及自然數的無限性，這是自然數作為序數的特點。如果一個事物也沒有，就形成了“0”的概念，0比1還小，所以可以排在自然數列的最前面。數1是自然數的單位，從0開始，以後逐個加1，這樣無限的進行下去就可以得到全體自然數。所以，自然數集合是無限的，對於任一個確定的自然數，總還存在比它更大的自然數。從自然數的產生進程可以知道：每個自然數都是表示一類對等集合的共同特徵的符號。或者說，每一個自然數都是一類對等集合的標記。例如自然數0是無事物可數這樣一類對等集合(空集)的標記，自然數1是以月亮為代表的一類對等集合的標記；自然數2是以一個人的眼睛為代表的一類對等集合的標記……由於自然數不是無限集合的標記，因此，可以認定：自然數是一類對等的有限集合的標記，或者說，自然數表示有限集合中元素的個數。根據兩集合之間的對等與包含關係，可以給出兩個自然數大小關係的定義：設自然數a與b分別代表有限集合A與B的元素的個數，那么：
1.若A對等於B，則稱a等於b，記為a=b。
2.若A對等於B′，且B′B，則稱a小於b，記為a<b。
3.若AA′，且A′對等於B，則稱a大於b，記為a>b。
由此定義可知：對於任意兩個自然數a與b，三種關係：a=b，a>b，a<b必有一種且僅有一種成立。這個結論稱為自然數的三歧性，或稱為自然數的全序性.隨著社會生產力的發展，對自然數的研究也提出了更高的要求，根據自然數的基數和序數的特點，產生了自然數的兩種嚴格理論：自然數的基數理論和序數理論。它們是進一步定義實數的基礎。這些理論是在19世紀中、末葉分別由佩亞諾(Peano，G.)和康托爾(Cantor，G.(F.P.))完成的.在數學理論的發展中自然數集的定義並不包含0，1993年開始新的國家標準定義自然數集N含0，這樣做一方面是為了推行國際標準化組織(ISO)制定的國際標準，以便與之早日相銜接；另一方面，0還是十進位數數字{0，1，2，…，9}中最小的數，有了0，減法運算a-a仍屬於N，其中a∈N。
