《遍歷哈密頓系統的譜理論》是依託南京大學，由苗棟擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：遍歷哈密頓系統的譜理論
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：苗棟
- 依託單位：南京大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究兩個遍歷（ergodic）類：具有隨機位勢的哈密頓系統（random Hamiltonians） 和擬周期薛丁格運算元（quasiperiodic Schr?dinger operators）。對於隨機哈密頓量，如薛丁格運算元,散度型微分運算元和Maxwell運算元等，通過使用多尺度分析（multiscale analysis）,重整化群（renormalization group）方法和分數矩量分析（fractional moment analysis）研究稠密純點譜和連續譜的存在性；特徵函式的性質；動力局域化。對於具有非線性項的隨機薛丁格方程，研究隨機位勢和非線性項對初始局域態的波包（localized wave packet）長時間演化的影響。對於擬周期薛丁格運算元,使用KAM方法和Kotani理論等，研究純點譜的存在性及相應的特徵函式的性質。
結題摘要
本項目主要研究兩個遍歷（ergodic）類：具有隨機位勢的哈密頓系統（random Hamiltonians）和擬周期薛丁格運算元（quasiperiodic Schrodinger operators）。遍歷哈密頓系統不僅在數學領域，而且在物理領域都是研究的熱點。對於隨機哈密頓量，如薛丁格運算元,散度型微分運算元和Maxwell 運算元等，通過使用多尺度分析（multiscale analysis）,重整化群（renormalization group）方法和分數矩量分析（fractional moment analysis）研究稠密純點譜和連續譜的存在性；特徵函式的性質；動力局域化。對於具有非線性項的隨機薛丁格方程，研究隨機位勢和非線性項對初始局域態的波包（localized wave packet）長時間演化的影響。對於擬周期薛丁格運算元,使用KAM 方法和Kotani 理論等，研究純點譜的存在性及相應的特徵函式的性質。 我們首先研究了光在隨機擾動下的周期介質中的傳播。我們使用Birman-Solomyak公式 和譜平均估計克服無窮秩擾動的困難。然後使用e Helffer-Sjöstrand公式處理連續函式 運算元譜演算。最後，我們得到了相干估計。基於點過程理論，我們證明尺度化後的特徵值在熱動力學極限意義下，服從Poisson點過程。對於具有隨機係數的一維的Klein-Gordon方程， 我們證明了長時間的Anderson局域化。我們研究了隨機薛丁格運算元的態密度。我們證明了譜移函式的Cesàro平均逐點收斂於態密度函式；另外，譜移函式幾乎處處收斂於態密度函式。最後，在很一般的條件下，薛丁格運算元的態密度函式是log-Holder連續的。
