運算元機率論中的運算元論和運算元代數問題

《運算元機率論中的運算元論和運算元代數問題》是依託陝西師範大學，由杜鴻科擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：運算元機率論中的運算元論和運算元代數問題
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：杜鴻科
• 依託單位：陝西師範大學

項目摘要

非交換機率論（量子機率論）是基於運算元代數上的機率論。運算元機率論是基於Hilbert空間H上的所有線性有界運算元B(H)這一特殊的運算元代數的機率論。本項目研究運算元機率論中的運算元論和運算元代數問題。由於B(H)本身是一典型的非交換的運算元代數，在運算元機率論的研究中運算元的交換性，運算元（向量）的糾纏性等這類非交換運算元代數特有的性質，將會在研究中起到本質的作用。本項目將重點研究運算元機率論中的壓縮正運算元的序貫積，運算元數值域的乘積，運算元代數中的保持問題等。本課題的研究思路和方法是，藉助於精細的運算元譜理論，依賴運算元的分塊技巧，從正交射影之間的量化刻畫入手，對運算元機率論中的問題進行深入研究；探索使用運算元機率論的研究思想，給出運算元交換性，運算元的糾纏性，運算元保持等問題的新刻劃，並發現和開拓出運算元論和運算元代數研究的新視角。運算元機率論與運算元論和運算元代數這兩個分支，相互滲透將成為本課題在研究方法上的突出特點。

結題摘要

本項目依託運算元機率論的思想和方法，在多個各自不同又有密切聯繫的研究方向上，在具體的各自的研究中不斷發展運算元分塊的技巧。在本項目4年的研究中，課題組各位同仁們分工互助，通力合作，取得了豐富的研究成果。項目進行的比較順利，在本項目執行的這四年時間裡，共資助發表論文45篇，其中SCI類期刊32篇，SCIE期刊3篇，權威期刊4篇，核心期刊5篇。 最值得關注的是如下兩個成果。 1. 使用運算元機率論的思想和分塊運算元的技巧，去掉運算元為自共軛的限制，我們分別給出了對希爾伯特空間上的任一對運算元的Heisenberg-type和Schrodinger-type 不確定性關係。在此基礎上，推廣了被廣為關注的駱氏(駱順龍)定理。我們給出了Wigner-Yanase-Dyson 偏振信息的一個推廣，並從運算元譜理論入手，研究了這類Wigner-Yanase-Dyson 偏振信息和與之相關的量的一些性質，得到了關於Wigner-Yanase-Dyson 偏振信息的凸性的一個初等證明。 2. 研究了強糾纏破壞信道在可數可分態之間的插值問題和強糾纏破壞信道的數學結構和特徵描述，將著名的Choi定理從有限維空間延伸到無限維空間，並研究了量子信道在保持插值條件下的收斂性，拓撲結構和幾何特徵。 探討了在最優關係下，兩個機率分布的Shannon熵的性質，並將Uhlmann的一個定理由有限維空間推廣到無限維空間。在此基礎上，證明了對任一量子信道Φ，對所有的量子態ρ都有S(Φ(ρ))=S(ρ)若且唯若存在一個等距運算元V 使得 Φ(ρ)=VρV∗，其中關於量子態ρ的von Neumann 熵S(ρ)的定義為S(ρ)≡−tr(ρlog(ρ)).除此之外，本項目的研究成果可大致分為4個方面。1. 關於量子計算機的數學理論的研究。 2. 關於量子計算和量子資訊理論中一些問題的研究。3. 關於絕熱逼近理論的研究。4. 運算元論和運算元代數的相關問題研究。這些研究發表在國內外多個著名的數學雜誌和理論物理雜誌，這些研究不僅大大豐富了運算元譜理論和運算元分塊技巧，同時也提出了一些使用運算元機率論的思想和方法，值得進一步關注的涉及到運算元幾何結構，運算元譜理論，以及和理論物理密切相關的一些新的研究課題。