運算元代數中的逼近問題

《運算元代數中的逼近問題》是依託東北師範大學，由李春光擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：運算元代數中的逼近問題
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：李春光
• 依託單位：東北師範大學

項目摘要

自數學家Halmos 的著名綜述文章“Ten problems in Hilbert space”發表以來, 在過去的四十年里運算元逼近方面出現許多重要結果。許多學者考慮過這些問題並進一步發展可分無窮維Hilbert空間上運算元逼近理論。在一般運算元代數中考察逼近問題將是全新的嘗試。我們將在C*代數和von Neumann 代數中考慮逼近問題，並試圖將運算元理論中的經典結論推廣到運算元代數中。特別地，我們將刻畫C*代數中特殊元素構成集合的閉包，例如全體冪零元，正規元的相似軌道以及全體代數元。我們還將計算von Neumann 代數中特殊集合之間的距離，如冪零元集合和非零正交射影集合。進一步，我們還要考查單生成的C*代數中的逼近問題，運算元理論中的一些技巧將發揮重要作用。這將為運算元代數的研究提供新的思路。

結題摘要

自從Halmos的文章“Ten problems in Hilbert space”發表以來，關於Hilbert空間上運算元逼近產生許多重要工作。著名的Weyl-von Neumann 定理表明每個正規運算元均可經任意小的緊擾動變為對角運算元。Voiculescu得到了非交換的Weyl-von Neumann定理，這在C*代數和運算元理論領域有非常深刻的套用。利用本性譜和指標的語言，Herrero等刻畫了一些運算元類的範數閉包。另外，在無窮維空間上很難給出運算元在相似下的完全分類，所以其他學者考慮近似相似問題。然而，在一般C*代數中考慮逼近問題的較少。在本項目中，我們在C*代數框架下研究了一系列逼近問題。 在項目執行期間，首先，我們研究了復對稱運算元相關問題。我們證明了任意兩個正交射影的乘積是復對稱的，我們將進一步研究有限個正交射影乘積的復對稱性。除此之外，我們還證明了在維數大於等於3的有限維空間上任何運算元可通過任意小的擾動變為不是復對稱的。這一結論的無窮維情形由申請人和其他合作者證明，證明用到了運算元的本性譜。但在有限維空間上證明會更加困難，需要複雜的計算。 其次，我們考慮了運算元正交性質的逼近問題。利用譜和Fredholm指標的語言，我們刻畫了那些可通過任意小的緊擾動變為具有正交性質的運算元；刻畫了那些可通過任意小緊擾動變為不具有正交性質的運算元；我們還研究了正交性質在解析函式演算下的穩定性。 再次，我們研究了幾乎反交換自伴矩陣逼近問題。有學者證明了幾乎反交換的自伴矩陣對可由反交換的自伴矩陣對一致逼近，與維數無關。我們嘗試給出這一問題的量化估計，目前我們得到了反交換自伴矩陣版本的Davidson擴張定理，這是給出量化估計的重要一步。 第四，我們給出了一大類AH代數的exponential length的估計。當A是實秩不為零且具有維數增長緩慢條件的AH代數時，A的exponential length 為2\pi。我們還證明了Jiang-Su代數Z的exponential length 為2\pi。最後，我們研究了循環上同調和極小唯一遍歷動力系統。利用光滑叉積代數和循環上同調，我們給出了光滑動力系統的分類。總之，我們研究了B(H)和一些AH代數中的上述逼近問題。我們還將考慮ASH代數和其他C*代數中的其他逼近問題。