《自由卷積的正則性問題及運算元值自由機率論》是依託武漢大學，由鐘平擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：自由卷積的正則性問題及運算元值自由機率論
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：鐘平
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
經過近三十年的發展，自由機率論已經成為泛函分析與運算元代數領域的一個重要分支，它和運算元代數、隨機矩陣、組合學、群表示論及數學物理等數學領域中的許多重要問題有著非常深刻的聯繫。自由卷積表示相互獨立的自由隨機變數的和或乘積的分布，為自由機率論的一個基本概念。關於自由卷積的正則性問題的研究在自由機率論的發展之初就得到重視。H.Bercovici和D.V.Voiculescu用複分析的辦法較系統地研究了自由卷積的正則性。他們還發現自由機率論中的超收斂現象，這種現象在經典機率中是沒有的。他們的研究後來也被用到隨機矩陣及量子資訊理論的研究中。在本項目，我們計畫拓展他們的工作，在我們已有工作的基礎上說明在更弱的條件下也有該現象。並且，我們還計畫將這些理論套用於隨機矩陣的研究中。此外，我們還計畫研究與之相關的，自由機率論的中心極限定理的收斂速度問題，以及運算元值自由機率論中的相關問題。
結題摘要
自由機率論是基於所謂自由獨立性的研究非交換隨機變數的數學分支，是泛函分析和機率論的交叉學科。自由獨立性是由Voiculescu在研究自由群因子的同構問題時引入的，用來描述某些運算元的某種關係。後來他還發現自由機率論可以用來描述某些隨機矩陣的聯合分布的極限。自由卷積描述自由隨機變數的和或者乘積的分布。本課題研究自由機率論中自由卷積的正則性問題及其套用。我們研究了超收斂現象及量子信息中的若干問題。對於加法自由卷積，我們將以前的超收斂結果推廣至所有的無窮可分分布，這或許是這一問題最一般的結果了。此外，我們研究了量子信息中的PPT平方猜想，我們用隨機矩陣及自由機率論的方法針對某些隨機量子態研究了這個猜想，我們的結果支持這個猜想，在理論上有一定的意義，
