連帶勒讓德函式

連帶勒讓德函式有兩類：第一類連帶勒讓德函式、第二類連帶勒讓德函式。連帶勒讓德函式是連帶勒讓德方程的解。

基本介紹

• 中文名：連帶勒讓德函式
• 外文名：Associated Legendre functions
• 領域：數學
• 實質：連帶勒讓德方程的解
• 分類：第一類和第二類
• 性質：正交歸一性等

定義

連帶勒讓德函式有兩類：第一類連帶勒讓德函式、第二類連帶勒讓德函式

連帶勒讓德函式是連帶勒讓德方程

的解，當 為任意整數的情形時，連帶勒讓德方程為

的一個解

記作 .另一個解為

記作 ，即

.( )

， 分別稱為m階n次第一類連帶勒讓德和第二類連帶勒讓德函式。

第一類連帶勒讓德函式

第一類連帶勒讓德函式3D圖

第一類連帶勒讓德函式2D圖

第二類連帶勒讓德函式

連帶勒讓德函式的母函式

由勒讓德多項式的母函式公式

兩次對x微分m次，得 .

兩端同乘以 ，得 .

因此， 即為連帶勒讓德函式 的母函式。

連帶勒讓德函式的遞推公式

(1) .

(2) .

(3) .

(4) .

連帶勒讓德函式的正交歸一性

連帶勒讓德函式的正交歸一性是指

其中， 稱為連帶勒讓德函式 的模。

連帶勒讓德函式的廣義傅立葉級數展開

連帶勒讓德函式 在區間[一1，1]上也構成一個正交完備系，可以看作廣義傅立葉級數展開的基函式。一個定義在區間[一1，1]上的連續函式，f(x)可展開成以連帶勒讓德函式 為基的廣義傅立葉級數

其中廣義傅立葉係數為

若令 ,，則以上兩式可寫成