《逐段決定馬氏過程的測度值生成元與可加泛函》是依託石家莊鐵道大學，由劉國欣擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：逐段決定馬氏過程的測度值生成元與可加泛函
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：劉國欣
- 依託單位：石家莊鐵道大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
逐段決定馬氏過程，簡記為PDMPs，是一類廣泛的非擴散馬氏過程。其隨機性只限於隨機跳時與隨機跳轉，在兩個隨機跳之間的軌道沿半動力系統演化。本項目著力於超出Davis的PDMPs範圍的一般PDMPs的理論研究。從其基本特徵--半動力系統特徵出發，研究半動力系統的所謂可加泛函的相關性質。藉助此可加泛函，給出PDMPs的可加泛函的表示；套用半動力系統可加泛函與沿動力系統軌道符號測度的一一對應關係，引入測度值運算元的概念；再將PDMPs廣生成元的概念推廣為測度值生成元，使其定義域縮小到一定程度可退化為廣生成元。進而建立一般PDMPs的測度值生成元的一般理論，包括Ito型公式等。 由於隨機控制理論對Ito公式的本質依賴關係，把測度值生成元理論套用於PDMPs控制理論的研究，將HJB方程、QVI HJB方程統一為測度值HJB方程，建立一般PDMPs的HJB的統一理論框架。
結題摘要
首先，從逐段決定馬氏過程（PDMP）三元特徵中的半動力系統特徵出發，引入了半動力系統可加泛函的概念。一半動力系統的可加泛函全體構成一線性空間；給出了半動力系統可加泛函的Lebesgue分解的表示等。其次，將逐段決定馬氏過程的可加泛函由相應半動力系統可加泛函表示定理推廣到一般情形；給出了逐段決定馬氏過程可加泛函成為局部鞅的純分析的充分必要條件。第三，首次提出了馬氏過程的測度值生成元的概念，將生成元的像由函式推廣為過程半動力系統特徵的可加泛函。不僅擴充了生成元的定義域，而且給出了定義域的純分析刻畫，使得這類過程的位勢理論可以在一般意義下討論。由於值函式未必屬於生成元的定義域，但它通常屬於測度值生成元的定義域。因此，測度值生成元理論更適於逐段決定馬氏過程的最優控制理論與套用。最後，把測度值生成元理論套用於保險理論中兩類重要模型的最優分紅理論研究，提出了一致化的研究經典控制（帶約束分紅率最優分紅）、脈衝控制（脈衝分紅）、混合控制（一般分紅）方法。將三種控制的HJB方程、QVI HJB方程、干涉運算元方程統一為測度值動態規劃方程，此時，驗證定理不需要添加附加值函式的正則性條件（如局部Lipschitz條件等）
