迪潘圓紋面

迪潘圓紋面是一種特殊的反演圖形，即圓環面的反演圖形，迪潘圓紋面上有兩組相互正交的圓族(直線當成半徑無限大的圓)，如果反演極取圓環面的基本圓周上的點，那么圓環面的反演圓形仍然是圓環面，它的軸線變為反演像的基本圓，它的基本圓變為反演像的軸線。迪潘(P.-C.-F.Dupin)很重視幾何學的套用，對曲面理論做出了重要的貢獻，他所著《幾何學的發展》一書中對此圓紋面有詳細的論述。

基本介紹

• 中文名：迪潘圓紋面
• 外文名：Dupin circular surface
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：空間幾何
• 相關人物：迪潘(P.-C.-F.Dupin)
• 別名：杜潘（Dupin）圓紋面
• 簡介：圓環面的反演圖形

基本概念

我們把一個圓周C繞它平面上一條軸A旋轉得來的曲面稱為環面。但是，一般而論，我們還特別保留這一名詞給軸A與圓不相交的情況，但注意在相反的情況下(軸和子午線相交或相切)，曲面可以通過反演變換為一旋轉錐面或柱面（設從一點看一已知段，視角為一已知角(不等於直角)，則此點的軌跡由一圓周繞其一弦旋轉而產生，因此它是一個非常態的環面）。

一個環面的任何反形曲面稱為迪潘圓紋面(也稱杜潘圓紋面)。這自反的推廣顯然在於取軸A為圓形的且與C共球。此外，如果(像在常態環面的情況)A和C沒有公共點，則有一圓A'存在，同時與A和C配軸，因之與C繞A旋轉時遞次所占的位置配軸。從此已可立刻看出，曲面含有兩系圓，即一點繞A旋轉(輻角α為變數)時所描畫的圓(環面的一些平行圓)以及它繞A'旋轉(輻角為α' )時所描畫的圓(環面的一些子午線)。

共軛軸A，A'(也稱為基本軸或基本圓)在曲面的產生中占有完全對稱的地位，特別地，極點取在A'上的一個反演將圓紋面變換為一個環面，它的軸由A'變換得來，如果起初的圓紋面是一個以A為軸的環面，則新環面的子午線對應於原環面的平行圓，且反之亦然。

圓紋面可以由給定軸A，A'及曲面上一點m₀來確定，其他任何一點m可以由m₀繞A旋轉一個任意角度α，再繞A'旋轉一個任意角度α'得出。

相關結論

1. 魏拉索( Yvon Villarceau)定理 在環面或圓紋面上可以畫出另外兩系的圓。要得出它們，可以用下面兩個關係之約束α和α':

α－α'=常數，α+α'=常數 （1）

事實上

或

給出一個撓平行運算，在這運算下，設h變化，點m由位置m₀出發畫出一個圓。

這便是有名的魏拉索( Yvon Villarceau)定理。

由(1)的第一式所表示的圓是這樣畫圓紋面的，或者我們把它連續地繞A或A'旋轉，或者我們用一個撓平行變換作用於它，這撓平行變換的角是變數且保留(1)中第二族的圓，這變換可作用於兩已知撓平行圓的無論哪一個公共共球圓；對於這樣一個圓照剛才所說作運算，便產生一個杜潘圓紋面。

2. 旋轉面上一點有一個切面，這是曲面上通過這點的各曲線在這點的切線的軌跡，它和子午線平面垂直，並且按它的定義還通過子午線的切線。

由是可知，沿每個平行圓有一球與曲面內切，即是說在這平行圓上每一點，它和曲面相切，這樣，任何旋轉曲面具有無窮多的這些內切球。

杜潘圓紋面因此也具有兩系內切球，一系的球和主軸A正交，另一系和A'正交。在曲面上任一點m，切面可以定義為同時是球(m，A)和(m，A')的法面。

現在考查通過點m的兩個魏拉索圓。這兩圓 的切線在圓紋面的切面上,所以含它們的球S必然切曲面於m,也切於相對點 。

這樣，魏拉索圓可以看做是圓紋面被在兩個相對點m, 雙切的球中任意一個球 所截而得到的。這樣一個球 只截曲面於所考慮的兩圓 :因為它和一個“被變換的平行圓”(畫在曲面上的圓，且與A配軸)只有兩個公共點，這兩點只能是這平行圓與 的交點。

3. 設 為第一系兩個確定的圓，它們可以互相推得，或者繞A或A'旋轉角度2θ，或者利用角度為θ的運算 ；並設γ為第二系的一個動圓。球(γC₁)和(γC₂)可以利用運算 互相推得，所以這兩球——即兩球(m，C₁)，(m，C₂)，m表示曲面上任一點——相交成常角θ。這樣，在圓紋面上得到內接角古典性質的一個類似性質，這類似性由下一事實所補充：球(m，C₁)和(m，C₂)的交角，是把C₁帶到C₂的位置應該繞這曲面的兩軸之一所旋轉的角度之半。

4. 設是兩軸A，A'的公共共球(因之，垂直)圓中的任意一個，若沿套用如從A出發並順著一定的方向，角V取已知值，則有兩個撓平行線匯(A，A')之一中的一個確定的圓——若改變這線匯的型態，這圓便以它對於球(A，)的反形代替。這線匯中與A有同一撓平行角V的一切圓，可由這個圓得出，甚至由這圓的一個點得出，利用繞A或A'的一些任意的旋轉。因此，線匯中與其中之一A具有已知撓平行角的圓的軌跡是一個杜潘圓紋面。

再考查由相同的共軛圓A，A'所定義的不同型態的兩個撓平行線匯。通過空間任一點a，有這兩線匯的各一圓。若這兩圓交角為常量，則點a的軌跡為一杜潘圓紋面，因為這角顯然是這些圓中的一個和A的撓平行角的兩倍，如果這角為直角，即若撓平行角為45°，這樣得到的每一系圓顯然是一個魏拉索直系，這樣的圓的一個圓紋面軌跡，即是說在它上面每一點，魏拉索圓相交成直角，稱為等邊圓紋面。在相反的情況下，兩系圓的每一系稱為一個魏拉索斜系。

圓紋面另外一個類似性質是由簡化冪的概念推導出來的，這概念來自布洛哈(M.A.Bloch)。

5. 點關於一球或圓的簡化冪 我們把一點m關於一個球的冪被這球的直徑除得的商，稱為這點關於這球的簡化冪。

我們也把一點m到圓周C的最大和最小距離之積被圓的直徑除得的商，即

稱為點m關於圓C的簡化冪。這些簡化冪都有一個可注意的性質，即除一個因子外，它們不因反演而變，這因子取決於反演和點m，與球或圓無關。同一點m關於任意兩球，或兩圓，或一球和一圓的簡化冪之比，在反演中保持不變。

簡化冪的概念和杜潘圓紋面之間的關係是顯然的，杜潘圓紋面上一點關於兩條基本軸的簡化冪之比為常數。為了肯定:關於兩個彼此共軛的定圓A,A'的簡化冪之比為常數的點的軌跡為一杜潘圓紋面(而不分解為若干圓紋面)，只要從公式

出發，這公式將簡化冪的比表示為圓A和線匯(A，A')中通過點m的圓γ之間的撓平行角的函式。因左端保持為常數，V也應當如此，於是得出所需的結論，公式(3)可以驗明而無困難，只要假設(利用一合宜的反演，而這是允許的)A為一直線且m位於以A'為大圓的球Σ上。

6. 杜潘圓紋面和切於三已知球的球系有密切關係。