近代套用數學基礎

《近代套用數學基礎》是2015年清華大學出版社出版的圖書，作者是蘇維宜。

基本介紹

• 書名：近代套用數學基礎
• 作者：蘇維宜
• ISBN：9787302338208
• 定價：43元
• 出版社：清華大學出版社
• 出版時間：2015-4-1

內容介紹

本書是由蘇維宜負責編寫，該書通過結合例題，系統地介紹集合論、近世代數、點集拓撲、泛函分析、分布理論、微分幾何等近代套用數學的基本內容及其在自然科學研究中的套用。此書強調了對近代數學概念的理解和對重要論證方法的思路分析，以便幫助讀者去掌握數學推理的基本思維方法，學會把近代套用數學中的重要定理和方法套用到本專業的具體問題中去。該書由清華大學出版社於2015年正式出版印刷

本書結合例題，系統地介紹集合論、近世代數、點集拓撲、泛函分析、分布理論、微分幾何等近代套用數學的基本內容及其在自然科學研究中的套用。書中強調對近代數學概念的理解和對重要論證方法的思路分析，以幫助讀者掌握數學推理的基本思維方法，學會把近代套用數學中的重要定理和方法套用到本專業的具體問題中去。

本書可作為物理、天文、化學、地學、生物、計算機等專業學習相關課程的教材或參考書，也可供相關領域科研人員閱讀參考。

前言

21世紀飛速發展的科學技術與人類的生產實踐，對科技人員的素質、知識與能力提出

了新的要求。自然科學、社會科學等各個領域中的從業者，在數學思維水平、數學科學

知識、數學套用能力方面所具備的基礎，也達到了前所未有的高度。高等數學遠遠不能滿足新的需求，近代數學的思維、概念、理論、方法已經悄然滲透，由高端變為基礎，由理論變為現實，由指導性的方向變為科學中的實踐。於是，繼高等數學之後，一本介紹近代套用數學的教程編寫迫在眉睫。

近代數學所包含的範圍之廣，知識面之寬，內容之深，非簡單幾句話所能概括。為了給自然科學的主體類（如物理學、天文學、化學、計算機科學、地球科學、生命科學等）的學生準備必要的近代數學知識，南京大學在20世紀90年代，首先在基礎學科教學強化部開設了繼高等數學之後的半年近代數學的課程，但未正式命名，而是作為高等數學的第四個學期而設定的，周學時為5的必修課。其內容涵蓋勒貝格積分、微分幾何等，使學生受益匪淺。

隨著教學改革的深入和新世紀的到來，我們把勒貝格積分編寫到高等數學教程中，把非數學類學生所需的近代數學知識集中在一起，從2006年開始編寫教材，2007年、2009年兩次印製成講義，並在南京大學匡亞明學院開設了為時半年的近代套用數學課程，這就是本書的雛形。對於匡亞明學院的理科強化部、物理、天文類的學生，我們採用邊教邊修改教學內容的方式，逐步完善而成為目前的書稿。

本書的內容安排如下：

第1章介紹集合論與近世代數基礎。在集合論部分，包括集合的概念、集合的運算與集合的重要性質； 關於近世代數部分，重點放在群的結構上。特彆強調如何由已知的群生成新的群（子群、積群、商群），以及這些新生群的運算結構。通過生成新群的思路，顯示出近代套用數學的思維方法，這在本課程中是重中之重。

第2章是線性空間與線性變換。一方面是高等數學中線性代數的繼續，另一方面是近世線性代數所涵蓋的一部分數學基礎，涉及正交幾何與辛幾何的結構，這在近代數學、近代物理與天文學中都起著重要作用。此外，從線性運算元空間的高度，進一步認識線性空間與線性變換； 從多重線性代數的角度認識張量空間等，都為學生理解與套用近代數學打下堅實的基礎。

第3章集中介紹點集拓撲知識。集合的拓撲結構與集合的運算結構相平行，共同構成近代數學對集合的重要處理方式，也是近代數學的重要思維方法之一。具有拓撲結構的集合稱為拓撲空間。拓撲的概念來自實踐，來自歐氏空間，但它高度抽象，不僅蘊含了精緻的數學思維，而且成為近代套用數學中必不可少的重要概念之一。這裡也要特彆強調兩點： 一是如何從已知的拓撲空間生成新的空間（子空間、積空間、商空間），這些新生空間的拓撲結構，是讀者應當注意的重點； 二是空間上的連續映射與空間的緊性，請讀者特別注意它們的意義與作用。

第4章是泛函分析基礎。近代科學讀物中常常見到的度量空間、Banach空間、Hilbert空間等，在本章中不僅給出確切的定義，而且給出它們的重要性質。由於近代數學有高度的抽象性，許多定理與性質的證明都具有清晰的思路與巧妙的方法，這不是我們在近代數學基礎中所要強調的。但是對於一些具有代表性的證明，例如度量空間的完備化定理、開映射定理、共鳴定理等，我們仍不惜用較多的篇幅給出，是因為這些證明中包含了豐富的近代數學思想。泛函分析中的運算元理論部分，特別是關於運算元序列的收斂性，也作了重點介紹。線性泛函部分則詳細介紹了共軛空間與共軛運算元。

第5章是分布理論，包含了Fourier變換的完整內容及其近代的發展——小波變換。從Lp(Rn)(1≤p≤2)的Fourier變換、Schwartz函式的Fourier變換，到Schwartz分布的Fourier變換，詳細介紹了它們的定義、性質與關係。Fourier變換在近代科學技術中的作用毋庸置疑。數學家在20世紀中葉為Fourier分析奠定了新的基礎 —— 分布理論。從分布理論的高度重新認識Fourier變換，以近代數學的觀點與思維對待科學研究的對象，對每一個科學研究者至關重要。希望本章能起到這個作用。

第6章是流形上的微積分，重點介紹了光滑流形、餘切空間、切空間的引入,流形上的微分與積分的定義及運算，並以三維歐氏空間作為輔助模型，給出各種套用舉例。在概念方面，本章具有高度的抽象性，僅從定義去理解，有相當大的難度。因此，本章是本書的難點部分。我們按照數學大師陳省身先生引進微分流形的思路編寫了本章的內容，力圖使讀者從實際的三維空間出發去進行一般情形的抽象。期望讀者能領會從特殊到一般、從具體到抽象、從有限到無限、從理論到套用的學習方法，從而體會近代套用數學的真諦。

第7章的補充知識，包含了近代套用數學中常用的方法，如變分方法； 常用的定理，如Banach空間中的StoneWeierstrass定理、隱映射定理、逆映射定理、不動點原理； 還有常用的概念，如Haar積分的概念。

本書所選用的知識載體跨度較大，幾乎包含了非數學類自然科學領域的研究工作所必備的近代套用數學知識。在數年、數次的教學實踐中，我們還著力於教學手段的改革，盡力以形象思維啟發抽象思維，以幾何直觀引導分析概念，並輔以啟發性的思考題，形成一個既可獨立使用的完整課程教材，又可供某些系科參考的輔助教材。

本書曾由南京大學數學系孫永忠教授、邱華副教授作為教材使用過，他們都提出了有價值的意見與建議。匡亞明基礎學院盧德馨教授、許旺教授以及物理系肖明文教授對本書提出了寶貴意見，於本書的使用、修改起了重要作用。清華大學出版社的石磊副編審對本書編寫和出版提出了很好的建議，陳明編輯對書稿進行了細緻核校，在此一併致謝。

由於作者水平有限，對教學改革的理解還不夠深刻，教材改革的思路、取材、編寫等方面的不足與錯誤在所難免，更存在許多不盡如人意之處，敬請專家、同行和讀者不吝賜教。

作者2015年1月於南京大學

目錄

第1章集合與集合的運算結構

1.1集合及其運算

1.1.1集合

1.1.2集合的運算

1.1.3集合之間的映射

1.2集合的運算結構

1.2.1群、環、域、線性空間

1.2.2群論初步、幾種重要的群

1.2.3子群、積群、商群

習題1

第2章線性空間與線性變換

2.1線性空間

2.1.1線性空間的實例

2.1.2線性空間的基

2.1.3線性空間的子空間、積空間、直和空間、商空間

2.1.4內積空間

2.1.5對偶空間

2.1.6線性空間的結構

2.2線性變換

2.2.1線性運算元空間

2.2.2線性運算元的共軛運算元

2.2.3多重線性代數

習題2

第3章點集拓撲的基本知識

3.1度量空間、賦范線性空間

3.1.1度量空間

3.1.2賦范線性空間

3.2拓撲空間

3.2.1拓撲空間中的一些定義

3.2.2拓撲空間的初步分類

3.3拓撲空間上的連續映射

3.3.1拓撲空間之間的映射、映射的連續性

3.3.2拓撲空間的子空間、積空間、商空間

3.4拓撲空間的重要性質

3.4.1拓撲空間的分離性

3.4.2拓撲空間的連通性

3.4.3拓撲空間的緊性

3.4.4拓撲線性空間

習題3

第4章泛函分析基礎

4.1度量空間理論

4.1.1度量空間的完備化

4.1.2度量空間中的緊性

4.1.3Banach空間的基

4.1.4Hilbert空間的直交系與直交展開

4.2運算元理論

4.2.1Banach空間上的線性運算元

4.2.2有界線性運算元的譜理論

4.3線性泛函理論

4.3.1賦范線性空間上的線性泛函

4.3.2Hilbert 空間上的線性泛函

習題4

第5章分布理論

5.1Schwartz空間、Schwartz分布空間

5.1.1Schwartz空間

5.1.2Schwartz分布空間

5.1.3空間E(Rn)、D(Rn)及其分布空間

5.2Lp(R)(1≤p≤2)上的Fourier變換

5.2.1L1(R)上的Fourier變換

5.2.2L2(R)上的Fourier變換

5.2.3Lp(R)(1<p<2)上的Fourier變換

5.3Schwartz分布的Fourier變換

5.3.1Schwartz函式的Fourier變換

5.3.2Schwartz分布的Fourier變換

5.3.3具緊緻支集的Schwartz分布

5.3.4Schwartz分布的卷積與Fourier變換

5.4小波分析

5.4.1小波變換的引入

5.4.2連續小波變換

5.4.3離散小波變換

5.4.4小波變換套用概述

習題5

第6章流形上的微積分

6.1基本概念

6.1.1微分流形結構

6.1.2餘切空間、切空間

6.1.3子流形

6.2外代數

6.2.1(r,s)型張量、(r,s)型張量空間

6.2.2張量代數

6.2.3Grassmann代數

6.3外微分

6.3.1張量叢、矢量叢

6.3.2外微分式的外微分

6.4外微分式的積分

6.4.1光滑流形的定向

6.4.2外微分式在定向光滑流形上的積分

6.4.3Stokes 公式

6.5Riemann 流形、數學科學與現代物理

6.5.1Riemann 流形

6.5.2連絡

6.5.3Lie群與活動標架法

6.5.4數學科學與現代物理學

習題6

第7章補充知識

7.1變分方法

7.1.1變分與變分問題

7.1.2變分原理

7.1.3更一般的變分問題

7.2Banach空間中的幾個重要定理

7.2.1StoneWeierstrass定理

7.2.2隱映射定理、逆映射定理

7.2.3不動點原理

7.3局部緊群上的Haar積分

習題7

參考文獻