軸對稱空間課題

軸對稱空間課題

軸對稱空間課題也稱軸對稱彈性空間課題,是近代土力學理論的一次重要發展。其解決了彈性半空間體在軸對稱荷載下應力位移計算的某些數值解。

基本介紹

  • 中文名:軸對稱空間課題
  • 外文名:Axisymmetric space problem
  • 學科:土力學
  • 貢獻者:K.Terasawa(寺澤寬一)
定義,性質,內容,優缺點,套用,

定義

在1885年,布辛尼斯克對彈性均質半空間體作出的研究的基礎上,1916年日本學者寺澤寬一對在軸對稱荷載下的半空間體,採用貝塞爾函式法求得了應力和位移計算的完整表達式,對於一些特殊點,還可簡化為收斂迅速的無限級數,從而獲得半空間體在軸對稱荷載下應力和位移計算的某些數值解。1929年洛夫(A.E.H.Love)採用勢能法又做出了後續的研究貢獻。
軸對稱空間課題
貝塞爾

性質

彈性層狀半空間體在外荷載作用下的應力、變形和位移分析,屬於空間課題。在空間課題中,如果彈性體幾何形狀約束條件以及所受的外荷載因素,都對稱於某一軸,則所有的應力、變形和位移也就對稱於這一軸,這類問題稱之為軸對稱空間課題。由於彈性層狀體系在水平向和垂直向都是無限的,因而其結構本身一定對稱於某一軸,如果荷載也是軸對稱荷載,則該課題必定為軸對稱空間課題。
軸對稱空間課題
布辛尼斯克

內容

1.軸對稱空間坐標系
首先建立一個三維的柱坐標系並取一六面體微元,如圖1所示
軸對稱空間課題
圖1
通過對徑向力取平衡可以得到軸對稱空間課題的平衡微分方程(推導略):
其中
,從上式可以看出,兩個方程共有四個未知量,未知量的個數多於方程的個數,所以只由靜力學來考慮問題,不足以解得上述四個應力分量。只有研究物體變形及其與應力的聯繫,才能得到所缺少的方程。
2.變形連續方程
為了解決上面提到的缺少必要方程無法解出四個應力分量的問題,又有很多科學家對此進行了理論研究。
軸對稱空間課題
聖維南
聖維南(B.de Saint-Venant)於1864年提出研究物體的變形時,從物體內割出一些圓柱微分單元體,顯然,各相鄰單元體的變形應是諧調的,所以物體在變形前是一個連續體,變形後也是一個連續體。
如圖2所示六面體微元發生一徑向微位移u,軸向微位移w
軸對稱空間課題
圖2
得到用應力表示的變形連續方程(推導略):
式中:
I1為第一應力不變數
▽為軸對稱空間課題的拉普拉斯運算元
上述求解應力分量解析解在實際情況下十分困難,一般採用應力函式求解。應力函式法求解又分洛夫(A.E.H.Love)法和蘇斯威爾法。
3.洛夫(A.E.H.Love)法
設應力函式
並給定:
將上式代入平微分方程和變形連續方程,除平衡微分方程第一個恆等於0外,其餘皆轉化為重調和方程
後續又可採用分離變數法和漢克爾積分變換法求解。
最後得到四個應力分量的表達式如下:
兩個位移分量:
式中:
只要根據邊界條件和層間結合條件求得A、B、C、D就能獲得該課題的全部精確解。
4.蘇斯威爾(Southwell)法
與洛夫法十分相似,蘇斯威爾法是給定位移條件,並代入物理方程,間接得到洛夫法中直接給定的應力微分方程。
同理代入平微分方程和變形連續方程,最後得到:
式中
後續也是採用漢克爾積分變換法求解。
最後得到四個應力分量的表達式如下:
兩個位移分量:
式中:
只要根據邊界條件和層間結合條件求得A、B、C、D就能獲得該課題的全部精確解。

優缺點

用蘇斯威爾法求解應力與位移分量的一般表達式,要比洛夫法簡捷些。但蘇斯威爾法目前尚未找到向非軸對稱空間課題推廣的途徑,而洛夫法卻易於向非軸對稱課題推廣。

套用

交通運輸工程中的道路建設領域是一次重要發展,根據汽車在公路上運動狀態的受力分析,一般情況下,作用有垂直荷載和單向水平荷載。對於垂直荷載,長期以來(在當時)都把它化為相當的圓形軸對稱荷載(如圓形均布荷載、半球形荷載等)來研究。因此,彈性層狀體系在圓形垂直荷載作用下的應力、變形和位移分析,可歸結為軸對稱空間課題。至於單向水平荷載,屬於非軸對稱荷載,但在後來的研究中已經解決了該問題,這裡只做軸對稱問題的介紹。

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