基本介紹
- 中文名:軸對稱空間課題
- 外文名:Axisymmetric space problem
- 學科:土力學
- 貢獻者:K.Terasawa(寺澤寬一)
定義,性質,內容,優缺點,套用,
定義
在1885年,布辛尼斯克對彈性均質半空間體作出的研究的基礎上,1916年日本學者寺澤寬一對在軸對稱荷載下的半空間體,採用貝塞爾函式法求得了應力和位移計算的完整表達式,對於一些特殊點,還可簡化為收斂迅速的無限級數,從而獲得半空間體在軸對稱荷載下應力和位移計算的某些數值解。1929年洛夫(A.E.H.Love)採用勢能法又做出了後續的研究貢獻。![軸對稱空間課題 軸對稱空間課題](/img/0/d37/QZ3gjYhVWOjVjYiVjYzgDM0kjYkVWOwcTYyQDZkJTNykTNwYTYyYDZvMWaw9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![軸對稱空間課題 軸對稱空間課題](/img/0/d37/QZ3gjYhVWOjVjYiVjYzgDM0kjYkVWOwcTYyQDZkJTNykTNwYTYyYDZvMWaw9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
貝塞爾
性質
彈性層狀半空間體在外荷載作用下的應力、變形和位移分析,屬於空間課題。在空間課題中,如果彈性體的幾何形狀,約束條件以及所受的外荷載因素,都對稱於某一軸,則所有的應力、變形和位移也就對稱於這一軸,這類問題稱之為軸對稱空間課題。由於彈性層狀體系在水平向和垂直向都是無限的,因而其結構本身一定對稱於某一軸,如果荷載也是軸對稱荷載,則該課題必定為軸對稱空間課題。![軸對稱空間課題 軸對稱空間課題](/img/3/138/QO1QmNmVGM5ETM3UGZkVWZhNDN3YWZjVjMjZGNwUjY5gzM5IWZyUmMvMWaw9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![軸對稱空間課題 軸對稱空間課題](/img/3/138/QO1QmNmVGM5ETM3UGZkVWZhNDN3YWZjVjMjZGNwUjY5gzM5IWZyUmMvMWaw9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
布辛尼斯克
內容
1.軸對稱空間坐標系
首先建立一個三維的柱坐標系並取一六面體微元,如圖1所示
![軸對稱空間課題 軸對稱空間課題](/img/b/65a/wNlFjN2EzY5IWMlNmZlVWY2ATOmRGOxYTMxcTZkRWNlVzM1gjM2QDZvMWaw9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
圖1
![](/img/4/b93/wZ2NnLjhzNwkDOxIWYjZTMhFjMxgzN1I2NmVTZjRDZ5QjN5Q2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/e/e40/wZ2NnLxgTMxMWY3cjY4YmY2kTZxYGO3YTM2YDOzEjZyITY1E2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
其中
,從上式可以看出,兩個方程共有四個未知量,未知量的個數多於方程的個數,所以只由靜力學來考慮問題,不足以解得上述四個應力分量。只有研究物體變形及其與應力的聯繫,才能得到所缺少的方程。
![](/img/0/463/wZ2NnLkdjZkZ2YjJDO2gzMlZTYlNWMkZjMjF2MjJGOxI2M3AzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
2.變形連續方程
為了解決上面提到的缺少必要方程無法解出四個應力分量的問題,又有很多科學家對此進行了理論研究。![軸對稱空間課題 軸對稱空間課題](/img/2/c7f/gYilDZiZmMiJmZ1UDZ2YzMlZGO1gjZzADZzETNhZGOwMWZwEmZ4ATOvMWaw9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![軸對稱空間課題 軸對稱空間課題](/img/2/c7f/gYilDZiZmMiJmZ1UDZ2YzMlZGO1gjZzADZzETNhZGOwMWZwEmZ4ATOvMWaw9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
聖維南
聖維南(B.de Saint-Venant)於1864年提出研究物體的變形時,從物體內割出一些圓柱微分單元體,顯然,各相鄰單元體的變形應是諧調的,所以物體在變形前是一個連續體,變形後也是一個連續體。
如圖2所示六面體微元發生一徑向微位移u,軸向微位移w
![軸對稱空間課題 軸對稱空間課題](/img/2/a80/AN1UTMygjY4cTMlFzYmZzY2UGZwkzN2ITN0cjY0MmYllTMzIWN1IGMvMWaw9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
圖2
得到用應力表示的變形連續方程(推導略):
![](/img/5/09c/wZ2NnLmJ2M1MTMyImN2ITZ5cjYxgDM2EmZihzM2YTNkhTNyY2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/a/218/wZ2NnL3kTYjdDMlNGN0YDMwUWM4YDO1kTYiZmNxUzN0EWOlNzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/5/8a4/wZ2NnLlBzMkhTMxAjNmR2YkBjN2gzMwEWY4EmMjF2M5IGO3czLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/5/57b/wZ2NnLwgTM5IjNhBjYjFGM0QTMiZDOxUWY1IWY1cjZyIDNlBzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
式中:
I1為第一應力不變數;
▽為軸對稱空間課題的拉普拉斯運算元。
3.洛夫(A.E.H.Love)法
設應力函式
並給定:
![](/img/0/c2b/wZ2NnLzMTMmJTMxQWZjBjN5gDM4UGOmhjZ4MWO0cjY4QGO3kzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/2/d88/wZ2NnL0YDM0ImZkZWM0IWOxAjY1cjYyM2YlZ2YwYjY3E2Y2M2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/a/3af/wZ2NnLhRDM0UzNhZTMjFmZiR2YmNGM2ITOjJWY5UGNihzYyI2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/e/158/wZ2NnLhBDZ3EmN4cDZiFWZhRGOxYWNmlTMzAjZ3YTOwEzMkBzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/8/a0f/wZ2NnLiN2MmZ2NihjYmhTZjZTMlBDMhF2Y4UGZjRTY4AjZ1MzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/6/a6f/wZ2NnL5ETZmRjMxEWNyITZlVjNhVzYhhzY3UDM5ITZkV2Y4kzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
最後得到四個應力分量的表達式如下:
![](/img/a/dcc/wZ2NnL5MTMwMGMhFGZzM2MyYTMxMGZlVmYzEWY2QGZjRGOzM2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/7/9f9/wZ2NnLkZWZiRjYmNTN0MTZjVmN5UmYkdTZ0ETZ0QDOjJmM5kzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/a/0fa/wZ2NnLjlzNlVTM5cjMwIzY5kTN4cjY4EmYhFmZykzN3MWZ2YzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/0/0a1/wZ2NnL1YGZiFWYhNTYwkzNwMGM0MGOyUTOhRjZihTMwcTZxQ2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
兩個位移分量:
![](/img/1/b91/wZ2NnLkNTZmVzYhVGOlZ2NjhzYwUjN4QWY2EGZ0IWZ1cTZmJzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/b/cec/wZ2NnL5IWYwkDZhBjMyQGNkJWNlVDZiZzYzUWZ1EGOlNjMxU2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
式中:![](/img/9/1c5/wZ2NnLyEWOlFzN3EjZ3YWYwMGZxcDNihTY3QjYzY2NkZDMyEzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/9/1c5/wZ2NnLyEWOlFzN3EjZ3YWYwMGZxcDNihTY3QjYzY2NkZDMyEzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
只要根據邊界條件和層間結合條件求得A、B、C、D就能獲得該課題的全部精確解。
4.蘇斯威爾(Southwell)法
與洛夫法十分相似,蘇斯威爾法是給定位移條件,並代入物理方程,間接得到洛夫法中直接給定的應力微分方程。