軌道空間

軌道空間

軌道空間(orbit space)是一類特殊的商空間,若G是拓撲群,X是拓撲空間,G中每一元素g誘導一個從X到自身的同胚映射,x↦g(x),其中x∈X,對於任意g,h∈G,滿足h°g(x)=h[g(x)],對於群G中單位元e滿足e(x)=x,並且由(g,x)↦g(x)定義的G×X到X的映射是連續映射,則稱G為X的拓撲變換群。對於X中的點x,稱子集O(x)={g(x)|g∈G}為通過點x的軌道,所有軌道的集合{O(x)|x∈X}構成X的一個分解(實際上,X中兩點x,y屬於同一軌道這一關係是一等價關係)。由這個分解得出的商空間記為X/G,稱為軌道空間。例如,取拓撲群Z為具有離散拓撲的整數加群,R為實數空間,對於每一個n∈Z取從R到自身的同胚為平移,x↦x+n,這時得到的軌道空間R/Z是圓周S。

基本介紹

  • 中文名:軌道空間
  • 外文名:orbit space
  • 所屬學科:數學(代數拓撲學)
  • 屬性:一類特殊的商空間
  • 相關概念:商空間,軌道,拓撲群等
定義,舉例分析,

定義

定義1 一個群G稱為拓撲群,如果它同時也是一個Hausdorff空間,並且G上的乘法運算與求逆運算
都是連續的。
定義2 如果G和H是兩個拓撲群,設G×H表示兩個群的直積,帶上積拓撲,則G×H也是一個拓撲群。
定義3 設G是一個拓撲群,稱G如同一個同胚群而作用於拓撲空間X,是指G的每個元素g都誘導一個同胚
,並且滿足下列條件:
(1)
(2) 若
為單位元,則e誘導恆同同胚,即
(3) 映射
連續。
若G如同一個同胚群而作用於拓撲空間X,則對於每個
,集合
稱為x的軌道,記為
。很顯然,對於任意兩個點
,要么
,要么
。因此所有的軌道實際上給出了空間X的一個劃分,由此可以確定一個商空間(即把每個軌道粘合成一個點的粘合空間),稱為該作用的軌道空間,記為
如果對於任意兩個點
,都存在一個
使得
,則稱G在拓撲空間X的作用是可遷的,顯然,此時
,因此
是單點空間。

舉例分析

例1 (1)考慮無限循環群
上的如下作用:
容易驗證,其軌道空間
(2) 設n≥2,考慮正交群
,線上性代數中我們已經知道,每個
都確定了
中的一個線性變換
,這個線性變換保持歐氏度量。特別地,把單位向量映射為單位向量。因此每個
誘導了
的一個自同胚。並且容易看出,映射
是連續的。因此,
如同一個同胚群作用於球面
上。由Schmidt正交化方法不難看出,這個作用還是可遷的,因此軌道空間
只有一個點。
(3) 考慮群
在平面
上的作用:
,定義一個同胚
容易驗證,上述對應確實給出了
在平面
上的一個作用。由(1)可知,其軌道空間是兩個圓周的積空間。而且不難看出,平面上每個邊長為1的正方形都包含了每個軌道中的點,並且正方形的對邊在軌道空間中顯然被同向地粘合在了一起,因此又有
(4)考慮剩餘類群
在n-維球面
上的作用:不妨記
,其中0為單位元,而1為生成元。定義兩個同胚;
就是恆等同胚,
就是對徑映射,也是同胚。則不難驗證,上述定義給出了
在n-維球面
上的一個作用,其軌道空間正是粘合
的對徑點而得到的n-維射影平面
(5) 設p,q是兩個互質的整數,把3-維球面
看做2-維復空間內的單位球面,即
的生成元為
,定義
上的作用如下:
(幾次複合).
則不難驗證,這確實給出了一個群作用,其軌道空問稱為透鏡空間,記為
定理 如G一個同胚群而作用於單連通空間X,並且對於每個點
,都存在
使得
,則
利用這個定理,我們也可以得到下面幾個結論
例2 由於
都是單連通的,因此由例1可知,

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們